ENEM 2022 · Questão 146

Matemática e suas Tecnologias · Duas situações com os mesmos itens? Monte um sistema

Dificuldade TRI: b = 2,42 (média)

Um parque tem dois circuitos de tamanhos diferentes para corridas. Um corredor treina nesse parque e, no primeiro dia, inicia seu treino percorrendo 3 voltas em torno do circuito maior e 2 voltas em torno do menor, perfazendo um total de 1 800 m. Em seguida, dando continuidade a seu treino, corre mais 2 voltas em torno do circuito maior e 1 volta em torno do menor, percorrendo mais 1 100 m.

No segundo dia, ele pretende percorrer 5 000 m nos circuitos do parque, fazendo um número inteiro de voltas em torno deles e de modo que o número de voltas seja o maior possível.

A soma do número de voltas em torno dos dois circuitos, no segundo dia, será

A10.
B13.
C14.
D15.
E16.

Ver a resposta e a resolução

Resposta: E

A ideia: primeiro descubra o comprimento de cada circuito usando os dois trechos do treino. Depois procure a combinação inteira que percorre 5 000 m com o maior número de voltas.

Resolução. Se $M$ é o comprimento do circuito maior e $m$ o do menor, temos:

$3M+2m=1\,800$ e $2M+m=1\,100$ .

Dobrando a segunda equação e subtraindo a primeira:

$4M+2m-(3M+2m)=2\,200-1\,800$ .

Logo, $M=400$ metros. Então $m=1\,100-2\cdot400=300$ metros.

No segundo dia, se $x$ é o número de voltas no maior e $y$ no menor:

$400x+300y=5\,000$ , ou $4x+3y=50$ .

Para maximizar as voltas, prefira o circuito menor. Testando $x=0$ , a conta não dá $y$ inteiro; com $x=1$ , também não. Com $x=2$ , obtemos $3y=42$ , ou seja, $y=14$ .

Total: $2+14=16$ voltas.

Visualize:

Soluções inteiras para 4x + 3y = 50. Voltas 400 m, Voltas 300 m, Total. O maior número de voltas é 16

Onde a galera erra: marcar D (15), que também é possível com cinco voltas no circuito maior e dez no menor, mas não é o máximo pedido.

Leve para a prova: em problemas de otimização inteira, encontre as medidas primeiro e depois teste as menores quantidades viáveis do item mais caro ou longo.

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O Impulso ENEM ensina a reconhecer os padrões que mais caem na prova de Matemática, com questões reais e a dificuldade de cada uma pela TRI. Me chama que eu te conto como funciona.

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