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ENEM 2022 · Questão 155

Matemática e suas Tecnologias · Escolher grupos: combinação, arranjo ou permutação?

Dificuldade TRI: b = 2,17 (média)

Um prédio, com 9 andares e 8 apartamentos de 2 quartos por andar, está com todos os seus apartamentos à venda. Os apartamentos são identificados por números formados por dois algarismos, sendo que a dezena indica o andar onde se encontra o apartamento, e a unidade, um algarismo de 1 a 8, que diferencia os apartamentos de um mesmo andar. Quanto à incidência de sol nos quartos desses apartamentos, constatam-se as seguintes características, em função de seus números de identificação:

• naqueles que finalizam em 1 ou 2, ambos os quartos recebem sol apenas na parte da manhã;

• naqueles que finalizam em 3, 4, 5 ou 6, apenas um dos quartos recebe sol na parte da manhã;

• naqueles que finalizam em 7 ou 8, ambos os quartos recebem sol apenas na parte da tarde.

Uma pessoa pretende comprar 2 desses apartamentos em um mesmo andar, mas quer que, em ambos, pelo menos um dos quartos receba sol na parte da manhã.

De quantas maneiras diferentes essa pessoa poderá escolher 2 desses apartamentos para a compra nas condições desejadas?

  1. A9×6!(6−2)!9\times\frac{6!}{(6-2)!}
  2. B9×6!(6−2)!×2!9\times\frac{6!}{(6-2)!\times2!}
  3. C9×4!(4−2)!×2!9\times\frac{4!}{(4-2)!\times2!}
  4. D9×2!(2−2)!×2!9\times\frac{2!}{(2-2)!\times2!}
  5. E9×(8!(8−2)!×2!−1)9\times\left(\frac{8!}{(8-2)!\times2!}-1\right)
Ver a resposta e a resolução

Resposta: B

Resposta: (B) 9×6!(6−2)!×2!9\times\frac{6!}{(6-2)!\times2!}.

A ideia: primeiro escolhemos um andar; depois escolhemos dois apartamentos entre os que atendem à condição de sol. A ordem da compra não cria um par diferente.

Resolução. Em cada andar há oito apartamentos, identificados pelos finais de 1 a 8. Para que pelo menos um quarto receba sol de manhã, os finais permitidos são 1, 2, 3, 4, 5 e 6: seis apartamentos.

Precisamos escolher dois entre esses seis, sem considerar a ordem. O número de pares por andar é

(62)=6!(6−2)!2!=15\binom{6}{2}=\dfrac{6!}{(6-2)!2!}=15.

O prédio tem nove andares e o par deve ficar em um mesmo andar. Portanto, o total é 9⋅15=1359\cdot15=135, expresso pela fórmula da alternativa B.

Onde a galera erra: marcar (A), contando primeiro e segundo apartamento como escolhas diferentes; o par {31, 32} é o mesmo que {32, 31}.

Leve para a prova: se a ordem dos elementos escolhidos não interessa, divida a contagem ordenada pelo número de permutações dos escolhidos.

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O Impulso ENEM ensina a reconhecer os padrões que mais caem na prova de Matemática, com questões reais e a dificuldade de cada uma pela TRI. Me chama que eu te conto como funciona.

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