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ENEM 2022 · Questão 158

Matemática e suas Tecnologias · Dada a Função, determine o vértice

Dificuldade TRI: b = 2,37 (média)

Ao analisar os dados de uma epidemia em uma cidade, peritos obtiveram um modelo que avalia a quantidade de pessoas infectadas a cada mês, ao longo de um ano. O modelo é dado por p(t)=−t2+10t+24p(t)=-t^2+10t+24, sendo tt um número natural, variando de 1 a 12, que representa os meses do ano, e p(t)p(t) a quantidade de pessoas infectadas no mês tt do ano. Para tentar diminuir o número de infectados no próximo ano, a Secretaria Municipal de Saúde decidiu intensificar a propaganda oficial sobre os cuidados com a epidemia. Foram apresentadas cinco propostas (I, II, III, IV e V), com diferentes períodos de intensificação das propagandas:

• I: 1≤t≤21\le t\le 2;

• II: 3≤t≤43\le t\le 4;

• III: 5≤t≤65\le t\le 6;

• IV: 7≤t≤97\le t\le 9;

• V: 10≤t≤1210\le t\le 12.

A sugestão dos peritos é que seja escolhida a proposta cujo período de intensificação da propaganda englobe o mês em que, segundo o modelo, há a maior quantidade de infectados. A sugestão foi aceita.

A proposta escolhida foi a

  1. AI.
  2. BII.
  3. CIII.
  4. DIV.
  5. EV.
Ver a resposta e a resolução

Resposta: C

A ideia: o enunciado procura o mês de maior quantidade de infectados. Isso é o vértice de uma parábola com concavidade para baixo.

Resolução. O modelo é p(t)=−t2+10t+24p(t)=-t^2+10t+24. Como o coeficiente de t2t^2 é negativo, a parábola sobe até o vértice e depois desce.

Para uma expressão at2+bt+cat^2+bt+c, a posição do vértice é t=−b2at=\dfrac{-b}{2a}. Aqui, a=−1a=-1 e b=10b=10:

t=−102⋅(−1)=5t=\dfrac{-10}{2\cdot(-1)}=5.

O mês 5 é maio. Não há problema com o domínio: 5 é um número natural e está entre 1 e 12.

Agora basta consultar as faixas propostas. A proposta III cobre 5≤t≤65\le t\le6, portanto contém o mês em que o modelo prevê o pico.

Onde a galera erra: marcar B porque o crescimento já é grande nos meses 3 e 4. A pergunta pede o maior valor, não apenas meses de crescimento.

Leve para a prova: se uma parábola é côncava para baixo, o vértice fornece o máximo; para cima, fornece o mínimo.

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