ENEM 2022 · Questão 169

Matemática e suas Tecnologias · Comparar volumes de diferentes cilindros

Dificuldade TRI: b = 1,89 (média)

Uma loja comercializa cinco modelos de caixas-d’água (I, II, III, IV e V), todos em formato de cilindro reto de base circular. Os modelos II, III, IV e V têm as especificações de suas dimensões dadas em relação às dimensões do modelo I, cuja profundidade é $P$ e área da base é $A_b$ , como segue:

• modelo II: o dobro da profundidade e a metade da área da base do modelo I;

• modelo III: o dobro da profundidade e a metade do raio da base do modelo I;

• modelo IV: a metade da profundidade e o dobro da área da base do modelo I;

• modelo V: a metade da profundidade e o dobro do raio da base do modelo I.

Uma pessoa pretende comprar nessa loja o modelo de caixa-d’água que ofereça a maior capacidade volumétrica.

O modelo escolhido deve ser o

AI.
BII.
CIII.
DIV.
EV.

Ver a resposta e a resolução

Resposta: E

A ideia: O volume do cilindro é área da base vezes profundidade. Dobrar o raio não é o mesmo que dobrar a área: ela quadruplica.

Resolução. Considere o volume do modelo I como $V=A_b\cdot P$ . No modelo II, a base é metade e a profundidade dobra: volume $V$ . No III, o raio é metade, então a área vira um quarto; com profundidade dupla, o volume é $V/2$ . No IV, a área dobra e a profundidade fica pela metade: volume $V$ . No V, o raio dobra, fazendo a área quadruplicar, e a profundidade cai pela metade: volume $2V$ . Portanto, o modelo V tem a maior capacidade de todos.

Visualize: Fatores em relação ao modelo I. Modelo, Área, Altura, Volume. Dobrar o raio quadruplica a área

Construção auxiliar de enem-2022-q169

Onde a galera erra: A alternativa B parece atraente porque o modelo II é duas vezes mais profundo, mas sua área é metade: os dois fatores se cancelam. Já no modelo V o ganho quadrático do raio prevalece.

Leve para a prova: Ao mudar o raio por um fator $k$ , a área da base muda por $k^2$ ; depois multiplique pelo fator da altura.

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