ENEM 2022 · Questão 174

Matemática e suas Tecnologias · Relacionando volumes de diferentes sólidos

Dificuldade TRI: b = 2,58 (difícil)

Peças metálicas de aeronaves abandonadas em aeroportos serão recicladas. Uma dessas peças é maciça e tem o formato cilíndrico, com a medida do raio da base igual a 4 cm e a da altura igual a 50 cm. Ela será derretida, e o volume de metal resultante será utilizado para a fabricação de esferas maciças com diâmetro de 1 cm, a serem usadas para confeccionar rolamentos. Para estimar a quantidade de esferas que poderão ser produzidas a partir de cada uma das peças cilíndricas, admite-se que não ocorre perda de material durante o processo de derretimento. Quantas dessas esferas poderão ser obtidas a partir de cada peça cilíndrica?

A800
B1 200
C2 400
D4 800
E6 400

Ver a resposta e a resolução

Resposta: D

A ideia: Todo o metal do cilindro será reaproveitado nas esferas. Encontre o volume de uma peça e o de uma esfera e divida, mantendo as unidades iguais.

Resolução. O cilindro tem raio 4 cm e altura 50 cm, então seu volume é $\pi\cdot4^2\cdot50=800\pi$ centímetros cúbicos. Cada esfera tem diâmetro de 1 cm; portanto, seu raio é 0,5 cm. O volume esférico vale $\dfrac{4}{3}\pi(0{,}5)^3=\dfrac{\pi}{6}$ centímetro cúbico. A quantidade de esferas é $800\pi\div(\pi/6)=800\cdot6=4\,800$ . O fator $\pi$ se cancela: não foi necessário aproximá-lo nem usar calculadora.

Onde a galera erra: A alternativa C, 2 400, reaproveitaria só metade do metal: $2\,400\cdot(\pi/6)=400\pi$ cm³, contra os $800\pi$ cm³ disponíveis. O raio de cada esfera é meio centímetro.

Leve para a prova: Sem perda de material, conserve o volume total. Em quocientes de volumes circulares, simplifique $\pi$ antes de fazer contas.

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