ENEM 2022 · Questão 176

Matemática e suas Tecnologias · sem padrão (conteúdo)

Dificuldade TRI: b = 6,28 (difícil)

O governo de um estado pretende realizar uma obra de infraestrutura para auxiliar na integração e no processo de escoamento da produção agrícola de duas cidades. O projeto consiste na interligação direta das cidades A e B com a Rodovia 003, pela construção das Rodovias 001 e 002. As duas rodovias serão construídas em linha reta e deverão se conectar à Rodovia 003 em um mesmo ponto, conforme esboço apresentado na figura, na qual estão também indicadas as posições das cidades A e B, considerando o eixo x posicionado sobre a Rodovia 003, e cinco localizações sugeridas para o ponto de conexão entre as três rodovias.

Pretende-se que a distância percorrida entre as duas cidades, pelas Rodovias 001 e 002, passando pelo ponto de conexão, seja a menor possível.

Dadas as exigências do projeto, qual das localizações sugeridas deve ser a escolhida para o ponto de conexão?

AI
BII
CIII
DIV
EV

Ver a resposta e a resolução

Resposta: D

A ideia: para minimizar a soma de dois trajetos retos até uma estrada, reflita uma das cidades em relação ao eixo da estrada. O caminho mínimo vira um segmento de reta.

Resolução. No gráfico, a cidade A está em $(20,40)$ e a cidade B em $(50,20)$ , em quilômetros. A Rodovia 003 é o eixo horizontal. Refletindo B, obtemos $B'=(50,-20)$ .

A menor soma $AP+PB$ ocorre quando A, P e B' ficam alinhados. Entre A e B', a coordenada vertical cai 60 unidades, de 40 para $-20$ . Para chegar a zero, percorremos $40/60=2/3$ do segmento.

A coordenada horizontal da interseção é

$x=20+\dfrac23(50-20)=20+20=40$ .

O ponto IV está exatamente em 40 km no recorte original. Assim, ele coincide com a interseção que minimiza o trajeto, sem precisar escolher por proximidade.

Visualize: Cidades A=(20,40), B=(50,20), reflexão B′=(50,−20) e candidatos nas abscissas 20,30,35,40,50. A reta AB′ cruza a rodovia exatamente em IV=(40,0).

Construção auxiliar de enem-2022-q176

Onde a galera erra: marcar III (C) por escolher visualmente um ponto intermediário, sem considerar as alturas diferentes das cidades.

Leve para a prova: em caminhos mínimos que passam por uma reta, o método da reflexão transforma uma soma de distâncias numa linha reta.

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