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ENEM 2022 · PPL · Questão 180

Matemática e suas Tecnologias · Relacionar/Igualar áreas

Dificuldade TRI: b = 2,34 (média)

Um cortador de grama elétrico tem o cabo plugado em uma tomada fixa rente ao solo plano de um gramado. O cabo de energia mede 5 metros, e o cortador tem uma lâmina que corta 1 metro de largura. Atualmente ele corta, portanto, uma região no formato de círculo de raio 6 m, como ilustra a figura. Pretende-se usar adicionalmente um cabo extensor, de modo que seja possível cortar uma região com o dobro da área que corta atualmente.

Figura da questão

Qual a medida aproximada, em metro, do comprimento do cabo extensor?

  1. A12,0
  2. B8,5
  3. C6,0
  4. D3,0
  5. E2,5
Ver a resposta e a resolução

Resposta: E

A ideia: Dobrar a área do círculo não dobra seu raio. O raio aumenta pelo fator 2\sqrt2, e é preciso descontar o alcance da lâmina.

Resolução. Atualmente, o cabo de 5 m e a lâmina de 1 m permitem raio de 6 m. A área é 36π36\pi. Para dobrar, a nova área deve ser 72π72\pi, logo πR2=72π\pi R^2=72\pi e R=62R=6\sqrt2. Usando 2≈1,41\sqrt2\approx1{,}41, temos R≈8,5R\approx8{,}5 m. A parte que já existe alcança 6 m, portanto o cabo extensor precisa medir 8,5−6=2,58{,}5-6=2{,}5 m, aproximadamente.

Visualize: Círculos concêntricos de raios 6 e 6 raiz de 2 metros; o segundo tem o dobro da área. O extensor acrescenta aproximadamente 2,5 metros ao raio já alcançado, que inclui cabo e lâmina.

Construção auxiliar de enem-2022ppl-q180

Onde a galera erra: A alternativa B, 8,5, dá o raio total desejado, e não o comprimento adicional do cabo.

Leve para a prova: Em problemas de ampliação circular, primeiro calcule o novo raio; depois subtraia o alcance que já existe.

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