ENEM 2023 · Questão 146

Matemática e suas Tecnologias · sem padrão (conteúdo)

Dificuldade TRI: b = 1,89 (média)

O triângulo da figura é denominado triângulo mágico. Nos círculos, escrevem-se os números de 1 a 6, sem repetição, com um número em cada círculo. O objetivo é distribuir os números de forma que as somas dos números em cada lado do triângulo sejam iguais.

Considere que os números colocados nos vértices do triângulo estejam em progressão aritmética de razão igual a 2.

Nas condições propostas, quais as possíveis soluções para as somas dos números que formam os lados do triângulo?

AHá somente uma solução possível, e as somas em cada lado do triângulo são iguais a 7.
BHá somente uma solução possível, e as somas em cada lado do triângulo são iguais a 9.
CHá somente duas soluções possíveis, uma em que as somas em cada lado do triângulo são iguais a 7 e outra em que as somas são iguais a 9.
DHá somente duas soluções possíveis, uma em que as somas em cada lado do triângulo são iguais a 9 e outra em que as somas são iguais a 12.
EHá somente duas soluções possíveis, uma em que as somas em cada lado do triângulo são iguais a 10 e outra em que as somas são iguais a 11.

Ver a resposta e a resolução

Resposta: E

A ideia: Os vértices estão em progressão aritmética de razão 2 e usam números distintos de 1 a 6. Só há dois trios: 1, 3, 5 ou 2, 4, 6.

Resolução. A soma dos números de 1 a 6 é 21. Se somarmos os três lados do triângulo, cada número intermediário aparece uma vez e cada vértice aparece duas. Logo, $3S=21+V$ , em que $V$ é a soma dos vértices. Para 1, 3, 5, temos $V=9$ e $S=(21+9)/3=10$ . Para 2, 4, 6, temos $V=12$ e $S=(21+12)/3=11$ . No primeiro caso, entre os pares de vértices $(1,3)$ , $(3,5)$ e $(5,1)$ , coloque 6, 2 e 4: todos os lados somam 10. No segundo, entre $(2,4)$ , $(4,6)$ e $(6,2)$ , coloque 5, 1 e 3: todos somam 11. As duas somas são realizáveis.

Visualize: Duas distribuições válidas nos triângulos mágicos: vértices 1,3,5 com números intermediários 6,2,4, soma 10; vértices 2,4,6 com intermediários 5,1,3, soma 11.

Construção auxiliar de enem-2023-q146

Onde a galera erra: A alternativa D propõe 9 e 12, mas ignora que os vértices entram duas vezes na soma dos três lados.

Leve para a prova: Ao somar lados de uma figura, conte quantas vezes cada vértice foi incluído.

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O Impulso ENEM ensina a reconhecer os padrões que mais caem na prova de Matemática, com questões reais e a dificuldade de cada uma pela TRI. Me chama que eu te conto como funciona.

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