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ENEM 2023 · Questão 148

Matemática e suas Tecnologias · Use o Teorema de Pitágoras

Dificuldade TRI: b = 2,27 (média)

O mastro de uma bandeira foi instalado perpendicularmente ao solo em uma região plana. Devido aos fortes ventos, três cabos de aço, de mesmo comprimento, serão instalados para dar sustentação ao mastro. Cada cabo de aço ficará perfeitamente esticado, com uma extremidade num ponto PP do mastro, a uma altura hh do solo, e a outra extremidade, num ponto no chão, como mostra a figura.

Figura da questão

Os cabos de aço formam um ângulo α\alpha com o plano do chão.

Por medida de segurança, há apenas três opções de instalação:

• opção I: h=11h=11 m e α=30°\alpha=30°

• opção II: h=12h=12 m e α=45°\alpha=45°

• opção III: h=18h=18 m e α=60°\alpha=60°

A opção a ser escolhida é aquela em que a medida dos cabos seja a menor possível.

Qual será a medida, em metro, de cada um dos cabos a serem instalados?

  1. A2233\frac{22\sqrt{3}}{3}
  2. B11211\sqrt{2}
  3. C12212\sqrt{2}
  4. D12312\sqrt{3}
  5. E22
Ver a resposta e a resolução

Resposta: C

Resposta: (C) 12212\sqrt{2}.

A ideia: o cabo é a hipotenusa do triângulo retângulo formado por chão e mastro. Compare os comprimentos obtidos em cada uma das três instalações.

Resolução. Na figura, a altura hh fica oposta ao ângulo α\alpha que o cabo faz com o chão. Portanto, para um cabo de comprimento LL:

sin⁡α=hL\sin\alpha=\dfrac{h}{L}, ou L=hsin⁡αL=\dfrac{h}{\sin\alpha}.

Opção I: L=11/(1/2)=22L=11/(1/2)=22 m.

Opção II: L=12/(2/2)=122≈16,97L=12/(\sqrt2/2)=12\sqrt2\approx16{,}97 m.

Opção III: L=18/(3/2)=123≈20,78L=18/(\sqrt3/2)=12\sqrt3\approx20{,}78 m.

A menor medida é a da opção II, com 12212\sqrt2 metros por cabo.

Visualize: Comparação dos cabos: L = h / sen α. Opção, h m, Ângulo °, L m. Menor cabo: opção II, 12√2 m

Construção auxiliar de enem-2023-q148

Onde a galera erra: escolher E (22) por calcular corretamente a opção I e parar antes de comparar as três possibilidades.

Leve para a prova: quando a altura é fixa, cabos mais inclinados tendem a ser menores; mas, se a altura também muda, calcule cada caso.

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