ENEM 2023 · Questão 160

Matemática e suas Tecnologias · Aplicando PFC em senhas, placas e CEP

Dificuldade TRI: b = 2,38 (média)

Ao realizar o cadastro em um aplicativo de investimentos, foi solicitado ao usuário que criasse uma senha, sendo permitido o uso somente dos seguintes caracteres:

• algarismos de 0 a 9;

• 26 letras minúsculas do alfabeto;

• 26 letras maiúsculas do alfabeto;

• 6 caracteres especiais !, @, #, $, *, &.

Três tipos de estruturas para senha foram apresentadas ao usuário:

• tipo I: formada por quaisquer quatro caracteres distintos, escolhidos dentre os permitidos;

• tipo II: formada por cinco caracteres distintos, iniciando por três letras, seguidas por um algarismo e, ao final, um caractere especial;

• tipo III: formada por seis caracteres distintos, iniciando por duas letras, seguidas por dois algarismos e, ao final, dois caracteres especiais.

Considere $p_1$ , $p_2$ e $p_3$ as probabilidades de se descobrirem ao acaso, na primeira tentativa, as senhas dos tipos I, II e III, respectivamente.

Nessas condições, o tipo de senha que apresenta a menor probabilidade de ser descoberta ao acaso, na primeira tentativa, é o

Atipo I, pois $p_1 < p_2 < p_3$ .
Btipo I, pois tem menor quantidade de caracteres.
Ctipo II, pois tem maior quantidade de letras.
Dtipo III, pois $p_3 < p_2 < p_1$ .
Etipo III, pois tem maior quantidade de caracteres.

Ver a resposta e a resolução

Resposta: A

Resposta: (A) tipo I, pois $p_1 < p_2 < p_3$ .

A ideia: senha mais difícil de adivinhar é a que admite mais sequências possíveis. A probabilidade de acertar na primeira tentativa é o inverso da quantidade de senhas.

Resolução. Há $10+26+26+6=68$ caracteres disponíveis. Como os caracteres não podem se repetir, o tipo I admite $68\cdot67\cdot66\cdot65$ sequências, mais de 19 milhões.

No tipo II, as três letras são escolhidas em ordem entre 52, depois vêm um algarismo e um símbolo: $52\cdot51\cdot50\cdot10\cdot6=7\,956\,000$ .

No tipo III, são duas letras, dois algarismos e dois símbolos: $52\cdot51\cdot10\cdot9\cdot6\cdot5=7\,160\,400$ .

Logo, há mais possibilidades no tipo I e $p_1<p_2<p_3$ .

Visualize: Mais senhas → menor chance de acerto. Tipo, Senhas distintas. Tipo I: 19 545 240 possibilidades

Construção auxiliar de enem-2023-q160

Onde a galera erra: marcar E, pensando que uma senha de seis posições é necessariamente mais segura que outra de quatro. As restrições às categorias mudam a contagem.

Leve para a prova: no princípio multiplicativo, conte as escolhas disponíveis em cada posição. Para acerto ao acaso, mais senhas possíveis significam menor probabilidade.

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O Impulso ENEM ensina a reconhecer os padrões que mais caem na prova de Matemática, com questões reais e a dificuldade de cada uma pela TRI. Me chama que eu te conto como funciona.

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