ENEM 2023 · Questão 172

Matemática e suas Tecnologias · Use o Teorema de Pitágoras

Dificuldade TRI: b = 2,37 (média)

Sejam $a$ , $b$ e $c$ as medidas dos lados de um triângulo retângulo, tendo $a$ como medida da hipotenusa. Esses valores $a$ , $b$ e $c$ são, respectivamente, os diâmetros dos círculos $C_1$ , $C_2$ e $C_3$ , como apresentados na figura.

Observe que essa construção assegura, pelo teorema de Pitágoras, que área $(C_1)$ = área $(C_2)$ + área $(C_3)$ .

Um professor de matemática era conhecedor dessa construção e, confraternizando com dois amigos em uma pizzaria onde são vendidas pizzas somente em formato de círculo, lançou um desafio: mesmo sem usar um instrumento de medição, poderia afirmar com certeza se a área do círculo correspondente à pizza que ele pedisse era maior, igual ou menor do que a soma das áreas das pizzas dos dois amigos. Assim, foram pedidas três pizzas. O professor as dividiu ao meio e formou um triângulo com os diâmetros das pizzas, conforme indicado na figura.

A partir da medida do ângulo $\alpha$ , o professor afirmou que a área de sua pizza é maior do que a soma das áreas das outras duas pizzas.

A área da pizza do professor de matemática é maior do que a soma das áreas das outras duas pizzas, pois

A $0° < \alpha < 90°$
B $\alpha = 90°$
C $90° < \alpha < 180°$
D $\alpha = 180°$
E $180° < \alpha < 360°$

Ver a resposta e a resolução

Resposta: C

Resposta: (C) $90°<\alpha<180°$ .

A ideia: a área de um círculo é proporcional ao quadrado de seu diâmetro. Assim, a comparação entre pizzas se transforma numa comparação de quadrados dos lados de um triângulo.

Resolução. A primeira figura ilustra a igualdade de áreas quando o triângulo é retângulo, porque $a^2=b^2+c^2$ .

Na segunda figura, o lado correspondente à pizza do professor é o oposto ao ângulo $\alpha$ formado pelos lados correspondentes às pizzas dos amigos.

Pela lei dos cossenos,

$a^2=b^2+c^2-2bc\cos\alpha$ .

A pizza dele será maior que a soma das outras se $a^2>b^2+c^2$ . Isso exige $\cos\alpha<0$ , o que ocorre quando o ângulo interno é obtuso: entre $90°$ e $180°$ .

Onde a galera erra: marcar B porque lembra do teorema de Pitágoras. Com $90°$ , as áreas seriam iguais, e não maiores.

Leve para a prova: a versão ampliada de Pitágoras, pela lei dos cossenos, permite comparar áreas também em triângulos não retângulos.

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