ENEM 2023 · PPL · Questão 161

Matemática e suas Tecnologias · Tirou uma fração do que sobrou: fração de fração

Dificuldade TRI: b = 2,05 (média)

Um reservatório que abastece uma região urbana está com uma quantidade $V$ de água. Previsões meteorológicas indicam que a região passará por uma escassez de chuva e, por isso, as autoridades locais determinaram a realização de várias medições do volume de água nesse reservatório para efeito de monitoramento.

A primeira medição indicou que o volume de água reduziu-se à metade; a segunda indicou a retirada da terça parte do que restou; a terceira, a retirada da quarta parte do que restou; a quarta, a retirada da quinta parte do que restou e assim sucessivamente nas demais medições, mantendo o seguinte padrão de retirada: na $n$ -ésima medição, a retirada da $(n+1)$ -ésima parte do que restou.

Considere que não houve reabastecimento de água no reservatório no período em que foram feitas as medições.

Mantendo esse padrão de retirada, as quantidades de água restantes no reservatório referentes às 7ª, 8ª e 9ª medições são iguais a, respectivamente,

A $\frac{7}{8}V,\ \frac{8}{9}V\ e\ \frac{9}{10}V$
B $\frac{6}{7}V,\ \frac{7}{8}V\ e\ \frac{8}{9}V$
C $\frac{6}{8}V,\ \frac{7}{9}V\ e\ \frac{8}{10}V$
D $\frac{1}{7}V,\ \frac{1}{8}V\ e\ \frac{1}{9}V$
E $\frac{1}{8}V,\ \frac{1}{9}V\ e\ \frac{1}{10}V$

Ver a resposta e a resolução

Resposta: E

Resposta: (E) $\frac{1}{8}V,\ \frac{1}{9}V\ e\ \frac{1}{10}V$

A ideia: Cada medição retira uma fração do que restou. Observe o padrão: as frações restantes vão de $V/2$ a $V/3$ , depois a $V/4$ .

Resolução. Na primeira medição sai metade, então sobra $V/2$ . Na segunda sai um terço do restante, logo sobra $\dfrac23\cdot\dfrac V2=\dfrac V3$ . Na terceira, fica $\dfrac34\cdot\dfrac V3=\dfrac V4$ . A cada nova medição, o fator que permanece cancela o numerador do denominador anterior. Assim, após a medição de número $n$ , o volume que resta é $\dfrac{V}{n+1}$ . Na sétima, oitava e nona medições, os volumes são, respectivamente, $\dfrac V8$ , $\dfrac V9$ e $\dfrac V{10}$ .

Visualize:

Volume restante em relação ao inicial V. Medição, Fator mantido, Resta. Cada fator atua sobre o restante, não sobre V

Onde a galera erra: A alternativa A usa a fração que permanece na retirada isolada, sem acumular o que já saiu nas medições anteriores.

Leve para a prova: Em processos repetidos de “fração do restante”, escreva os primeiros casos para descobrir o cancelamento.

Vai fazer o ENEM?

O Impulso ENEM ensina a reconhecer os padrões que mais caem na prova de Matemática, com questões reais e a dificuldade de cada uma pela TRI. Me chama que eu te conto como funciona.

Falar com o Thiago