ENEM 2023 · PPL · Questão 165

Matemática e suas Tecnologias · Aplicando PFC em senhas, placas e CEP

Dificuldade TRI: b = 3,22 (difícil)

Uma costureira tem à sua disposição pelo menos duas unidades de cada um dos quatro tipos de retalhos retangulares com as estampas e os tamanhos apresentados.

Para confeccionar um tapete em formato retangular de 10 cm $\times$ 50 cm, ela utilizará os retalhos, na posição indicada na figura, costurando um lado de um a um lado do outro, sem que haja rotações desses retalhos. O modelo de tapete que pretende confeccionar deverá conter um único retalho de 10 cm $\times$ 20 cm e mais três retalhos de formato 10 cm $\times$ 10 cm, sendo que retalhos de mesma estampa não poderão ficar lado a lado.

Quantos modelos diferentes de tapetes poderão ser confeccionados?

Ver a resposta e a resolução

Resposta: E

A ideia: o retalho preto mede 20 cm de comprimento e os outros três medem 10 cm. Conte onde fica o retalho maior e as estampas possíveis ao seu redor.

Resolução. A figura apresenta três estampas diferentes para os quadrados de $10\times10$ cm e um retalho preto de $10\times20$ cm. São quatro peças em sequência, com uma peça maior.

Se o retalho preto ficar numa ponta (2 posições), os três quadrados ficam consecutivos. Há 3 escolhas para o primeiro e 2 para cada um dos seguintes, pois estampas iguais não podem ser vizinhas: $2\cdot3\cdot2\cdot2=24$ .

Se o retalho preto ficar numa das duas posições centrais, ele separa um quadrado dos outros dois. O quadrado isolado tem 3 opções; os dois consecutivos têm $3\cdot2$ opções: $2\cdot3\cdot3\cdot2=36$ .

Total: $24+36=60$ .

Visualize: o retalho P tem largura dupla. Os números nos quadrados indicam opções de estampa: após P há três escolhas; depois de outro quadrado, apenas duas.

Construção auxiliar de enem-2023ppl-q165

Onde a galera erra: contar todas as estampas livremente, ignorando que quadrados vizinhos não podem repetir a estampa.

Leve para a prova: quando uma peça separa outras, a restrição de vizinhança deve ser aplicada apenas dentro de cada grupo contíguo.

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O Impulso ENEM ensina a reconhecer os padrões que mais caem na prova de Matemática, com questões reais e a dificuldade de cada uma pela TRI. Me chama que eu te conto como funciona.

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