ENEM 2024 · Questão 138

Matemática e suas Tecnologias · Aplicando PFC em senhas, placas e CEP

Dificuldade TRI: b = 2,05 (média)

Para abrir a porta de uma empresa, cada funcionário deve cadastrar uma senha utilizando um teclado alfanumérico como o representado na figura.

Por exemplo: a tecla que contém o número 2 traz as letras correlacionadas A, B e C. Cada toque nessa tecla mostra, sequencialmente, os seguintes caracteres: 2, A, B e C. Para os próximos toques, essa sequência se repete. As demais teclas funcionam da mesma maneira.

As senhas a serem cadastradas pelos funcionários devem conter 5 caracteres, sendo 2 algarismos distintos seguidos de 3 letras diferentes, nessa ordem. Um funcionário irá cadastrar a sua primeira senha, podendo escolher entre as teclas que apresentam os números 1, 2, 5, 7 e 0 e as respectivas letras correlacionadas, quando houver.

O número de possibilidades diferentes que esse funcionário tem para cadastrar sua senha é

A11 520.
B14 400.
C18 000.
D312 000.
E390 000.

Ver a resposta e a resolução

Resposta: B

A ideia: os dígitos e as letras são partes ordenadas da senha, sem repetição dentro de cada parte. Conte separadamente as opções do teclado e multiplique as escolhas sucessivas.

Resolução. O funcionário pode usar as teclas 1, 2, 5, 7 e 0. Para os dois primeiros caracteres, há 5 escolhas para o primeiro algarismo e 4 para o segundo, pois devem ser distintos: $5\cdot4=20$ .

Pela figura, as teclas selecionadas oferecem letras ABC (3), JKL (3) e PQRS (4). As teclas 1 e 0 não acrescentam letras. Portanto, são $3+3+4=10$ letras possíveis.

Para as três últimas posições, todas com letras diferentes, há $10\cdot9\cdot8=720$ possibilidades.

Total: $20\cdot720=14\,400$ senhas distintas.

Visualize: Letras das teclas permitidas. Tecla, Letras, Quantidade. 5 dígitos e 10 letras; sem repetir: 14400

Construção auxiliar de enem-2024-q138

Onde a galera erra: confundir teclas com caracteres disponíveis. As teclas 2, 5 e 7 oferecem $3+3+4=10$ letras, e a exigência de letras distintas reduz as escolhas a cada posição.

Leve para a prova: em senhas sem repetição, o número de escolhas diminui a cada posição; não conte caracteres indisponíveis no teclado.

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