ENEM 2024 · Questão 146

Matemática e suas Tecnologias · Lados de um Terreno

Dificuldade TRI: b = 3,1 (difícil)

Um fazendeiro pretende construir um galinheiro ocupando uma região plana de formato retangular, com lados de comprimentos L metro e C metro. Os lados serão cercados por telas de tipos diferentes. Nos lados de comprimento L metro, será utilizada uma tela cujo metro linear custa R$ 20,00, enquanto, nos outros dois lados, uma que custa R$ 15,00. O fazendeiro quer gastar, no máximo, R$ 6 000,00 na compra de toda a tela necessária para o galinheiro, e deseja que o galinheiro tenha a maior área possível. Qual será a medida, em metro, do maior lado do galinheiro?

A85
B100
C175
D200
E350

Ver a resposta e a resolução

Resposta: B

A ideia: o limite do gasto vira uma equação entre os dois lados do retângulo. A maior área aparece quando os gastos totais nos dois pares de lados ficam equilibrados.

Resolução. Dois lados medem $L$ e custam R$ 20,00 por metro. Os outros dois medem $C$ e custam R$ 15,00 por metro. Usando o orçamento todo:

$40L+30C=6\,000$ .

Isolando $L$ :

$L=150-\dfrac34C$ .

A área é $A=L\cdot C$ , então:

$A=150C-\dfrac34C^2$ .

Essa expressão pode ser reescrita como:

$A=7\,500-\dfrac34(C-100)^2$ .

Como um quadrado nunca é negativo, a área será máxima quando $C=100$ metros. Substituindo no custo:

$40L+30\cdot100=6\,000$ , logo $L=75$ metros.

O maior lado mede 100 metros.

Visualize:

Retângulo de 100 m por 75 m, em proporção verdadeira. Dois lados de 100 m a 15 reais/m e dois de 75 m a 20 reais/m totalizam 6 000 reais.

Onde a galera erra: marcar D (200), dividindo o orçamento por R$ 30,00 e desconsiderando que os outros dois lados também precisam de tela.

Leve para a prova: em um retângulo com dois custos por metro, monte o gasto dos quatro lados antes de maximizar a área.

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O Impulso ENEM ensina a reconhecer os padrões que mais caem na prova de Matemática, com questões reais e a dificuldade de cada uma pela TRI. Me chama que eu te conto como funciona.

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