ENEM 2024 · Questão 148

Matemática e suas Tecnologias · Dada uma situação-problema, determine a função exponencial

Dificuldade TRI: b = 2,76 (difícil)

Uma caneca com água fervendo é retirada de um forno de micro-ondas. A temperatura $T$ , em grau Celsius, da caneca, em função do tempo $t$ , em minuto, pode ser modelada pela função $T(t)=a+80 b^t$ , representada no gráfico a seguir.

Os valores das constantes $a$ e $b$ são

A $a=20;\ b=\log(0,5)$
B $a=100;\ b=0,5$
C $a=20;\ b=(0,5)^{\frac{1}{10}}$
D $a=20;\ b=\frac{(40)^{\frac{1}{10}}}{80}$
E $a=20;\ b=40$

Ver a resposta e a resolução

Resposta: C

Resposta: (C) $a=20$ ; $b=(0{,}5)^{\frac{1}{10}}$ .

A ideia: o gráfico fornece duas temperaturas. Use a do instante zero para achar $a$ e a do minuto 20 para achar $b$ .

Resolução. O gráfico começa em 100 °C quando $t=0$ e chega a 40 °C quando $t=20$ .

A função é $T(t)=a+80b^t$ . No instante zero, $b^0=1$ , então

$100=a+80\Rightarrow a=20$ .

Agora substitua o ponto de 20 minutos:

$40=20+80b^{20}$ .

$20=80b^{20}\Rightarrow b^{20}=\dfrac{1}{4}=\left(\dfrac{1}{2}\right)^2$ .

Assim, $b=\left(\dfrac{1}{2}\right)^{\frac{2}{20}}=\left(0{,}5\right)^{\frac{1}{10}}$ .

Como a temperatura diminui, faz sentido obter um fator $b$ entre zero e um.

Visualize:

Curva com temperatura inicial 100 °C, 60 °C aos 10 minutos e 40 °C aos 20. A assíntota é 20 °C.

Onde a galera erra: marcar B, colocando $a=100$ . O 100 é a temperatura inicial completa; o termo $80b^t$ também vale 80 nesse instante.

Leve para a prova: em funções do tipo $a+cb^t$ , substitua primeiro $t=0$ : a potência vira 1 e facilita encontrar a constante.

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