ENEM 2024 · Questão 155

Matemática e suas Tecnologias · Arco, setor e ângulo inscrito: que fração do círculo?

Dificuldade TRI: b = 2,24 (média)

Um proprietário pretende instalar um sensor de presença para a proteção de seu imóvel. O sensor deverá detectar movimentos de objetos e pessoas numa determinada região plana. A figura ilustra a vista superior da área de cobertura (setor circular em azul) de um sensor colocado no ponto $S$ . Essa área depende da medida do ângulo $\alpha$ , em grau, e do raio $R$ , em metro.

Ao aumentar o ângulo $\alpha$ ou o raio $R$ aumenta-se a área de cobertura do sensor. Entretanto, quanto maior essa área, maior o preço do sensor.

Para esse fim, há cinco tipos de sensores disponíveis no mercado, cada um com as seguintes características:

• tipo I: $\alpha=15^\circ$ e $R=20$ m;

• tipo II: $\alpha=30^\circ$ e $R=22$ m;

• tipo III: $\alpha=40^\circ$ e $R=12$ m;

• tipo IV: $\alpha=60^\circ$ e $R=16$ m;

• tipo V: $\alpha=90^\circ$ e $R=10$ m.

Esse proprietário pretende adquirir um desses sensores que seja capaz de cobrir, no mínimo, uma área de medida 70 m $^2$ , com o menor preço possível.

Use 3 como valor aproximado para $\pi$ .

O proprietário do imóvel deverá adquirir o sensor do tipo

AI.
BII.
CIII.
DIV.
EV.

Ver a resposta e a resolução

Resposta: E

A ideia: o preço acompanha a área, não cada parâmetro isoladamente. Calcule a área de cada setor e escolha a menor que ainda seja suficiente para cobrir 70 m².

Resolução. A região azul na figura é um setor de círculo de raio R e ângulo central $\alpha$ . Usando $\pi\approx3$ , a área vale $\dfrac{\alpha}{360}\cdot3R^2$ .

Comparando os cinco modelos:

Tipo I: $\dfrac{15}{360}\cdot3\cdot400=50$ m².

Tipo II: $\dfrac{30}{360}\cdot3\cdot484=121$ m².

Tipo III: $\dfrac{40}{360}\cdot3\cdot144=48$ m².

Tipo IV: $\dfrac{60}{360}\cdot3\cdot256=128$ m².

Tipo V: $\dfrac{90}{360}\cdot3\cdot100=75$ m².

Os tipos II, IV e V alcançam 70 m². Dentre eles, o V possui a menor área, 75 m², e por isso o menor preço.

Visualize: Cobertura mínima exigida: 70 m². Tipo, Ângulo °, Raio m, Área m². V é o mais barato entre os suficientes

Construção auxiliar de enem-2024-q155

Onde a galera erra: optar pelo tipo III (C) olhando apenas para o raio ou para o ângulo. Nem o raio nem o ângulo determina sozinho a área de um setor.

Leve para a prova: para comparar setores, compare $\alpha R^2$ ; o fator comum $\dfrac{\pi}{360}$ pode ser ignorado quando não se precisa da área exata.

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