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ENEM 2024 · Questão 164

Matemática e suas Tecnologias · Inscrição/Circunscrição

Dificuldade TRI: b = 2,12 (média)

A prefeitura de uma cidade planeja construir três postos de saúde. Esses postos devem ser construídos em locais equidistantes entre si e de forma que as distâncias desses três postos ao hospital dessa cidade sejam iguais. Foram conseguidos três locais para a construção dos postos de saúde que apresentam as características desejadas, e que distam 10 km entre si, conforme o esquema, no qual o ponto HH representa o local onde está construído o hospital; os pontos P1P_1, P2P_2 e P3P_3, os postos de saúde; e esses quatro pontos estão em um mesmo plano.

Figura da questão

A distância, em quilômetro, entre o hospital e cada um dos postos de saúde, é um valor entre

  1. A2 e 3.
  2. B4 e 5.
  3. C5 e 6.
  4. D7 e 8.
  5. E8 e 9.
Ver a resposta e a resolução

Resposta: C

A ideia: três postos à mesma distância entre si formam um triângulo equilátero. O hospital, equidistante dos vértices, fica no centro da circunferência circunscrita a esse triângulo.

Resolução. Na figura, os postos P1P_1, P2P_2 e P3P_3 são os vértices do triângulo equilátero de lado 10 km; HH está na interseção das medianas, que nesse triângulo também é o circuncentro.

A altura do triângulo é h=1032=53h=\dfrac{10\sqrt{3}}{2}=5\sqrt{3} km. O circuncentro divide cada mediana na proporção 2 para 1, contando a partir do vértice. Portanto, a distância de HH a qualquer posto é

23⋅53=1033≈5,77\dfrac{2}{3}\cdot 5\sqrt{3}=\dfrac{10\sqrt{3}}{3}\approx 5{,}77 km.

O resultado está entre 5 e 6 km, intervalo da alternativa C.

Visualize: Triângulo equilátero de lado 10 km e circuncentro H, com raios iguais de 10/√3 km. Circunferência auxiliar e posições em escala.

Construção auxiliar de enem-2024-q164

Onde a galera erra: usar a metade do lado, 5 km, como distância do centro ao vértice. Os 5 km medem o trecho de um lado entre um vértice e seu ponto médio; não medem a distância do hospital ao posto.

Leve para a prova: em um triângulo equilátero, o raio da circunferência circunscrita vale dois terços da altura ou lado3\dfrac{lado}{\sqrt{3}}.

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