ENEM 2024 · Questão 169

Matemática e suas Tecnologias · Etapas em sequência: multiplique (ou use o complementar)

Dificuldade TRI: b = 2,73 (difícil)

A criptografia refere-se à construção e análise de protocolos que impedem terceiros de lerem mensagens privadas. Júlio César, imperador romano, utilizava um código para proteger as mensagens enviadas a seus generais. Assim, se a mensagem caísse em mãos inimigas, a informação não poderia ser compreendida. Nesse código, cada letra do alfabeto era substituída pela letra três posições à frente, ou seja, o “A” era substituído pelo “D”, o “B” pelo “E”, o “C” pelo “F”, e assim sucessivamente.

Disponível em: www.codifica.ibict.br. Acesso em: 15 out. 2019.

Qualquer código que tenha um padrão de substituição de letras como o descrito é considerado uma Cifra de César ou um Código de César. Note que, para decifrar uma Cifra de César, basta descobrir por qual letra o “A” foi substituído, pois isso define todas as demais substituições a serem feitas.

Uma mensagem, em um alfabeto de 26 letras, foi codificada usando uma Cifra de César. Considere a probabilidade de se descobrir, aleatoriamente, o padrão utilizado nessa codificação, e que uma tentativa frustrada deverá ser eliminada nas tentativas seguintes.

A probabilidade de se descobrir o padrão dessa Cifra de César apenas na terceira tentativa é dada por

A $\frac{1}{25}+\frac{1}{25}+\frac{1}{25}$
B $\frac{24}{25}+\frac{23}{24}+\frac{1}{23}$
C $\frac{1}{25}\times\frac{1}{24}\times\frac{1}{23}$
D $\frac{24}{25}\times\frac{23}{25}\times\frac{1}{25}$
E $\frac{24}{25}\times\frac{23}{24}\times\frac{1}{23}$

Ver a resposta e a resolução

Resposta: E

Resposta: (E) $\frac{24}{25}\times\frac{23}{24}\times\frac{1}{23}$

A ideia: para acertar somente na terceira tentativa, é preciso errar as duas primeiras e acertar a terceira. Cada erro elimina uma possibilidade.

Resolução. A figura mostra a troca sistemática de letras na Cifra de César: ao conhecer o deslocamento de A, conhece-se o padrão inteiro. O enunciado considera 25 padrões possíveis.

Na primeira tentativa, a chance de escolher o padrão errado é $\dfrac{24}{25}$ . Depois desse erro, restam 24 padrões, dos quais 23 ainda são errados: chance $\dfrac{23}{24}$ .

Na terceira tentativa, restam 23 padrões, sendo apenas um o correto. A chance de acertar nessa etapa é $\dfrac{1}{23}$ .

Multiplicando as três etapas, obtemos $\dfrac{24}{25}\cdot\dfrac{23}{24}\cdot\dfrac{1}{23}=\dfrac{1}{25}$ , produto mostrado na alternativa E.

Onde a galera erra: escolher D, que mantém 25 opções na segunda e na terceira tentativas, apesar de os padrões testados serem descartados.

Leve para a prova: sem reposição, o denominador muda a cada tentativa. Para “acertar exatamente na terceira”, multiplique erro, erro e acerto.

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O Impulso ENEM ensina a reconhecer os padrões que mais caem na prova de Matemática, com questões reais e a dificuldade de cada uma pela TRI. Me chama que eu te conto como funciona.

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