ENEM 2024 · Questão 171

Matemática e suas Tecnologias · Relacionar/Igualar áreas

Dificuldade TRI: b = 2,87 (difícil)

Um jardineiro dispõe de $k$ metros lineares de cerca baixa para fazer um jardim ornamental. O jardim, delimitado por essa cerca, deve ter a forma de um triângulo equilátero, um quadrado ou um hexágono regular. A escolha será pela forma que resulte na maior área.

O jardineiro escolherá a forma de

Ahexágono regular, pois a área do jardim, em metro quadrado, será $\frac{k^2\sqrt{3}}{24}$ .
Bhexágono regular, pois a área do jardim, em metro quadrado, será $\frac{3k^2\sqrt{3}}{2}$ .
Cquadrado, pois a área do jardim, em metro quadrado, será $\frac{k^2}{16}$ .
Dtriângulo equilátero, pois a área do jardim, em metro quadrado, será $\frac{k^2\sqrt{3}}{36}$ .
Etriângulo equilátero, pois a área do jardim, em metro quadrado, será $\frac{k^2\sqrt{3}}{4}$ .

Ver a resposta e a resolução

Resposta: A

Resposta: (A) hexágono regular, pois a área do jardim, em metro quadrado, será $\dfrac{k^2\sqrt{3}}{24}$ .

A ideia: o perímetro é fixo, não o lado. Em cada formato, o lado será uma fração diferente de $k$ ; depois compare as áreas.

Resolução. No triângulo equilátero, o lado vale $k/3$ , então a área é $k^2\sqrt{3}/36$ .

No quadrado, o lado vale $k/4$ e a área é $k^2/16$ .

No hexágono regular, o lado vale $k/6$ . Dividindo a figura em seis triângulos equiláteros:

$A_H=6\cdot\dfrac{(k/6)^2\sqrt{3}}{4}=\dfrac{k^2\sqrt{3}}{24}$ .

Para comparar, basta considerar os coeficientes de $k^2$ : aproximadamente $0{,}048$ , $0{,}0625$ e $0{,}072$ . O maior corresponde ao hexágono.

Onde a galera erra: marcar C por reconhecer corretamente a fórmula do quadrado, sem verificar se ela produz a maior área.

Leve para a prova: com perímetro fixo, quanto mais lados tiver um polígono regular, maior será sua área entre essas opções.

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O Impulso ENEM ensina a reconhecer os padrões que mais caem na prova de Matemática, com questões reais e a dificuldade de cada uma pela TRI. Me chama que eu te conto como funciona.

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