ENEM 2024 · Questão 180

Matemática e suas Tecnologias · Escolher grupos: combinação, arranjo ou permutação?

Dificuldade TRI: b = 2,43 (média)

Um hospital tem 7 médicos cardiologistas e 6 médicos neurologistas em seu quadro de funcionários. Para executar determinada atividade, a direção desse hospital formará uma equipe com 5 médicos, sendo, pelo menos, 3 cardiologistas.

A expressão numérica que representa o número máximo de maneiras distintas de formar essa equipe é

A $\frac{7!}{4!}\times\frac{6!}{4!}$
B $\frac{7!}{3!\times4!}\times\frac{6!}{2!\times4!}$
C $\frac{7!}{3!\times4!}+\frac{6!}{2!\times4!}+\frac{5!}{1!\times4!}$
D $\left(\frac{7!}{3!\times4!}+\frac{6!}{2!\times4!}\right)\times\left(\frac{7!}{4!\times3!}+\frac{6!}{1!\times5!}\right)\times\left(\frac{7!}{5!\times2!}+\frac{6!}{0!\times6!}\right)$
E $\left(\frac{7!}{3!\times4!}\times\frac{6!}{2!\times4!}\right)+\left(\frac{7!}{4!\times3!}\times\frac{6!}{1!\times5!}\right)+\left(\frac{7!}{5!\times2!}\times\frac{6!}{0!\times6!}\right)$

Ver a resposta e a resolução

Resposta: E

Resposta: (E) $\left(\frac{7!}{3!\times4!}\times\frac{6!}{2!\times4!}\right)+\left(\frac{7!}{4!\times3!}\times\frac{6!}{1!\times5!}\right)+\left(\frac{7!}{5!\times2!}\times\frac{6!}{0!\times6!}\right)$

A ideia: “pelo menos três cardiologistas” engloba três casos diferentes. Conte as equipes de cada composição e depois some.

Resolução. Uma equipe de cinco pode ter três cardiologistas e dois neurologistas, quatro cardiologistas e um neurologista, ou cinco cardiologistas e nenhum neurologista.

No primeiro caso, são $\dfrac{7!}{3!\,4!}\cdot\dfrac{6!}{2!\,4!}=35\cdot15=525$ equipes.

No segundo, $\dfrac{7!}{4!\,3!}\cdot\dfrac{6!}{1!\,5!}=35\cdot6=210$ .

No último, $\dfrac{7!}{5!\,2!}\cdot1=21$ . Somando, $525+210+21=756$ equipes. A alternativa E reúne exatamente esses três produtos numa soma.

Visualize: Equipe com pelo menos 3 cardiologistas. Cardiologistas, Neurologistas, Equipes. Casos distintos: 525 + 210 + 21 = 756

Construção auxiliar de enem-2024-q180

Onde a galera erra: marcar B e contar somente as equipes com exatamente três cardiologistas, descartando as que têm quatro ou cinco.

Leve para a prova: “pelo menos” pede a união de casos possíveis. Dentro de um caso, multiplique as escolhas independentes; entre casos incompatíveis, some.

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O Impulso ENEM ensina a reconhecer os padrões que mais caem na prova de Matemática, com questões reais e a dificuldade de cada uma pela TRI. Me chama que eu te conto como funciona.

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