ENEM 2024 · PPL · Questão 179

Matemática e suas Tecnologias · sem padrão (conteúdo)

Dificuldade TRI: b = 2,98 (difícil)

Um tanque de armazenamento de líquidos tem o formato de uma pirâmide reta de base quadrada, cujo plano que contém essa base é paralelo a um solo plano e horizontal. Esse tanque tem capacidade de 240 litros e altura de 2 metros. Inicialmente vazio, nele é despejado um líquido à vazão constante de $0,015\ \text{m}^3/\text{s}$ .

Sabe-se que $1\ \text{L} = 1\ \text{dm}^3 = 0,001\ \text{m}^3$ .

Qual expressão fornece a altura, em metro, da coluna de líquido dentro desse tanque em função do tempo $t$ , em segundo?

A $\sqrt[3]{\frac{t}{2}}$
B $\frac{\sqrt[3]{t}}{2}$
C $\frac{1}{10}\sqrt[3]{\frac{t}{2}}$
D $\frac{1}{10}\sqrt[3]{\frac{t}{8}}$
E $\frac{3}{10}\sqrt[3]{\frac{t}{2}}$

Ver a resposta e a resolução

Resposta: A

Resposta: (A) $\sqrt[3]{\dfrac{t}{2}}$ .

A ideia: na pirâmide invertida, a parte preenchida é uma pirâmide semelhante à inteira. O volume varia com o cubo da altura, não diretamente com ela.

Resolução. A figura mostra o vértice para baixo e a superfície do líquido paralela à base superior. A capacidade de 240 L corresponde a $0{,}240$ metro cúbico, quando a altura é 2 m.

Por semelhança, quando a coluna tem altura $h$ , seu volume é

$V=0{,}240\cdot\left(\dfrac{h}{2}\right)^3=0{,}030h^3$ .

Como a vazão é $0{,}015$ metro cúbico por segundo e o tanque começa vazio, após $t$ segundos há $V=0{,}015t$ .

Igualando, $0{,}030h^3=0{,}015t$ , então $h^3=\dfrac{t}{2}$ e $h=\sqrt[3]{\dfrac{t}{2}}$ . A expressão vale enquanto o tanque enche: $0\le t\le16$ segundos, pois $0{,}240/0{,}015=16$ .

Visualize: Pirâmide invertida: V = 30h³ litros. Altura m, Volume L, Tempo s. h = ∛(t/2); válida até completar 16 s

Construção auxiliar de enem-2024ppl-q179

Onde a galera erra: tratar a subida do nível como linear ou dividir a raiz cúbica por 2, como na alternativa B.

Leve para a prova: para sólidos semelhantes, a razão entre volumes é o cubo da razão entre comprimentos.

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