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ENEM 2025 · Questão 152

Matemática e suas Tecnologias · Dá para contar os casos? (dados, urnas, sorteios, C(n,k))

Dificuldade TRI: b = 2,23 (média)

Quatro candidatos se apresentaram para realizar a prova de um concurso. Antes de iniciar a prova, os celulares dos quatro candidatos foram recolhidos pelo aplicador, que os guardou, cada um, dentro de um envelope preto. Ao término da prova, o aplicador devolveu os quatro envelopes com os celulares aos quatro candidatos, de maneira aleatória, já que não havia feito a identificação dos envelopes.

A probabilidade de que todos os candidatos tenham recebido de volta os envelopes com os seus respectivos celulares é

  1. A12\frac{1}{2}
  2. B110\frac{1}{10}
  3. C116\frac{1}{16}
  4. D124\frac{1}{24}
  5. E1256\frac{1}{256}
Ver a resposta e a resolução

Resposta: D

Resposta: (D) 124\frac{1}{24}

A ideia: cada celular tem dono específico. O que interessa é a quantidade de maneiras de distribuir quatro envelopes distintos, e apenas uma delas devolve tudo corretamente.

Resolução. O aplicador pode entregar o primeiro envelope para qualquer um dos quatro candidatos. Depois, há três destinatários possíveis para o segundo, dois para o terceiro e um para o último.

Assim, existem 4⋅3⋅2⋅1=4!=244\cdot3\cdot2\cdot1=4!=24 distribuições equiprováveis, pois os envelopes foram devolvidos de forma aleatória.

Só uma distribuição é totalmente correta: aquela em que todos os quatro recebem seus próprios celulares. Portanto, a probabilidade é 124\dfrac{1}{24}.

A restrição “todos” é decisiva. Não basta que um candidato acerte o envelope; os quatro precisam acertar simultaneamente.

Onde a galera erra: escolher E e fazer 144\dfrac{1}{4^4}, tratando cada entrega como uma escolha independente entre quatro opções, inclusive com repetição de envelopes.

Leve para a prova: ao distribuir objetos distintos sem reposição, conte permutações. Um único arranjo favorável entre n!n! possíveis tem probabilidade 1n!\dfrac{1}{n!}.

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O Impulso ENEM ensina a reconhecer os padrões que mais caem na prova de Matemática, com questões reais e a dificuldade de cada uma pela TRI. Me chama que eu te conto como funciona.

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