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ENEM 2025 · Questão 153

Matemática e suas Tecnologias · Ponto equidistante no plano: é a mediatriz (ou o circuncentro)

Dificuldade TRI: b = 2,43 (média)

Em um jogo digital, há três personagens: um herói e dois vilões. A programação é feita de tal forma que o herói sempre será atacado pelo vilão que estiver mais próximo dele. Uma das maneiras de “confundir” os vilões é movimentar o herói por trajetórias que o mantenha equidistante dos vilões, gerando indefinição entre eles e, com isso, não sendo atacado.

Para a programação de uma das etapas desse jogo, o programador considerou, no plano cartesiano, o quadrado STUVSTUV como a região de movimentação dos personagens, onde VV e TT representam as posições fixas dos vilões, e SS, a posição inicial do herói, como apresentado na figura.

Figura da questão

Qual é a equação da trajetória em que o herói poderá se movimentar sem ser atacado?

  1. Ay=−3x+20y = -3x + 20
  2. By=−3x+16y = -3x + 16
  3. Cy=−3x−20y = -3x - 20
  4. Dy=3x+16y = 3x + 16
  5. Ey=3x−16y = 3x - 16
Ver a resposta e a resolução

Resposta: A

Resposta: (A) y=−3x+20y=-3x+20.

A ideia: os pontos equidistantes de dois vilões formam a mediatriz do segmento que os une. Assim, precisamos do ponto médio entre TT e VV e da reta perpendicular ao segmento TVTV.

Resolução. Na figura, S=(6;2)S=(6;2) e V=(8;6)V=(8;6) são vértices vizinhos do quadrado. O deslocamento de SS a VV é (2;4)(2;4). O lado seguinte, perpendicular e do mesmo comprimento, tem deslocamento (−4;2)(-4;2); por isso, T=(2;4)T=(2;4).

A reta que liga os vilões T=(2;4)T=(2;4) e V=(8;6)V=(8;6) tem inclinação 6−48−2=13\dfrac{6-4}{8-2}=\dfrac{1}{3}. Sua mediatriz tem inclinação −3-3.

O ponto médio de TVTV é (2+82;4+62)=(5;5)\left(\dfrac{2+8}{2};\dfrac{4+6}{2}\right)=(5;5). Logo, a trajetória passa por (5;5)(5;5) e satisfaz y−5=−3(x−5)y-5=-3(x-5), isto é, y=−3x+20y=-3x+20. Dentro do quadrado, o trecho permitido dessa reta é a diagonal SUSU, que contém a posição inicial SS.

Visualize: Quadrado STUV em escala e mediatriz de TV passando por M=(5,5); o segmento SU tem equação y=−3x+20 e mantém o herói equidistante dos vilões.

Construção auxiliar de enem-2025-q153

Onde a galera erra: marcar B, y=−3x+16y=-3x+16, identificando corretamente a inclinação mas substituindo o ponto errado para calcular a constante.

Leve para a prova: igualdade de distâncias a dois pontos significa mediatriz: passa pelo ponto médio e tem inclinação perpendicular ao segmento original.

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