ENEM 2025 · Questão 160

Matemática e suas Tecnologias · Dado o gráfico, determine a função

Dificuldade TRI: b = 4,24 (difícil)

Um recipiente tem um formato que faz com que, ao ser enchido de água com uma vazão constante, a distância $D$ da lâmina de água ao tampo da mesa, em centímetro, aumente em relação ao tempo $T$ , em minuto, de acordo com uma função do tipo

$D = k + \operatorname{tg}[p(T+m)],$

sendo os parâmetros $k$ , $p$ e $m$ números reais, para $T$ variando entre 0 e 4 minutos, conforme ilustrado na figura, na qual estão apresentadas assíntotas verticais da função tangente utilizada na definição de $D$ .

A expressão algébrica que representa a relação entre $D$ e $T$ é

A $D = 2,5 + \operatorname{tg}\left[30\left(T-\frac{5-2\pi}{2}\right)\right]$
B $D = 4 + \operatorname{tg}\left[30\left(T+\frac{5}{2}\right)\right]$
C $D = 4 + \operatorname{tg}\left[2,5\left(T+\frac{5+2\pi}{2}\right)\right]$
D $D = 30 + \operatorname{tg}\left[\frac{1}{2}(T-5)\right]$
E $D = 30 + \operatorname{tg}\left[\frac{1}{2}\left(T-\frac{5}{2}\right)\right]$

Ver a resposta e a resolução

Resposta: E

Resposta: (E) $D = 30 + \tan\left[\frac{1}{2}\left(T-\frac{5}{2}\right)\right]$ .

A ideia: numa tangente transformada, a linha central identifica o deslocamento vertical. A distância entre as assíntotas determina o fator horizontal, e o ponto central indica o deslocamento no tempo.

Resolução. No gráfico do recipiente, a curva cruza sua linha central em $T=2{,}5$ minutos e $D=30$ cm. Portanto, $k=30$ e o argumento da tangente deve ser zero quando $T=2{,}5$ .

As assíntotas verdes estão em $T=\dfrac{5-2\pi}{2}$ e $T=\dfrac{5+2\pi}{2}$ . A distância entre elas é $2\pi$ . Para a tangente, a distância entre assíntotas consecutivas é $\dfrac{\pi}{p}$ ; logo, $p=\dfrac{1}{2}$ .

O deslocamento central é $T-\dfrac{5}{2}$ . Assim,

$D=30+\tan[\dfrac{1}{2}(T-\dfrac{5}{2})]$ .

O gráfico também cresce no intervalo mostrado, confirmando o sinal positivo.

Visualize:

Parâmetros lidos no gráfico da tangente. Característica, Valor. D = 30 + tan((T − 2,5)/2)

Onde a galera erra: marcar D, que troca o deslocamento de 2,5 por 5 minutos e deixa a linha central no lugar errado.

Leve para a prova: em gráficos de tangente, use duas assíntotas vizinhas e o ponto central antes de tentar ajustar valores adicionais.

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