ENEM 2025 · Questão 164

Matemática e suas Tecnologias · Ângulo e distância: trigonometria no triângulo retângulo

Dificuldade TRI: b = 1,83 (média)

O dono de uma embarcação deve partir do ponto $P$ e chegar ao ponto $R$ por meio de dois deslocamentos lineares e navegando a uma velocidade constante. Essa viagem será feita durante a noite, e como ele dispõe somente de uma bússola e de um relógio, planejou sua rota da seguinte forma:

1º – partir do ponto $P$ na direção 110 e navegar por 4 horas, alcançando um ponto $Q$ ;

2º – partir do ponto $Q$ na direção 90 e navegar por 2 horas, alcançando o ponto de destino $R$ .

No entanto, ao direcionar o barco para o primeiro deslocamento, o fez na direção 340, em vez de 110. Com isso, realizou os seguintes deslocamentos:

1º – partiu do ponto $P$ na direção 340 e navegou por 4 horas, alcançando um ponto $S$ ;

2º – partiu do ponto $S$ na direção 90 e navegou por 2 horas, alcançando o ponto $T$ .

A figura apresenta a bússola, a rota planejada e a rota executada.

O dono da embarcação só percebeu o equívoco ao chegar ao ponto $T$ . Com isso, agora ele precisa definir a direção e o tempo de navegação que lhe permita, partindo do ponto $T$ , chegar ao ponto de destino $R$ por meio de uma rota retilínea.

Considere 0,64 como aproximação para $\cos 50^\circ$ .

A direção e o tempo aproximado de navegação que o dono da embarcação deve utilizar são, respectivamente,

A135 e 7 horas e 15 minutos.
B45 e 7 horas e 15 minutos.
C135 e 12 horas.
D135 e 6 horas.
E45 e 6 horas.

Ver a resposta e a resolução

Resposta: A

A ideia: os dois percursos têm o mesmo segundo deslocamento, rumo leste por duas horas. Eles se cancelam na comparação entre a posição real e a planejada.

Resolução. Basta comparar os primeiros trajetos de quatro horas: um rumo $110°$ e outro rumo $340°$ . Como mostra a bússola, a diferença entre as direções é $130°$ .

Chamando de $v$ a distância percorrida em uma hora, ambos os trajetos iniciais medem $4v$ . Pela lei dos cossenos, a distância de T até R satisfaz

$TR^2=(4v)^2+(4v)^2-2\cdot4v\cdot4v\cdot\cos130°$ .

Como $\cos130°=-\cos50°\approx-0{,}64$ , vem

$TR^2=32v^2+20{,}48v^2=52{,}48v^2$ .

Assim, $TR\approx7{,}24v$ , ou cerca de 7 horas e 15 minutos à mesma velocidade. As componentes de T–R para leste e para sul têm o mesmo módulo, logo a direção é sudeste, rumo $135°$ .

Visualize: Rotas em escala, com velocidade normalizada para uma unidade por hora: primeiras etapas de 4 h nas direções 110 e 340, seguidas por 2 h para leste. TR aponta a sudeste, rumo 135.

Construção auxiliar de enem-2025-q164

Onde a galera erra: marcar B: conserva o tempo correto, mas inverte o rumo para nordeste.

Leve para a prova: trajetos iguais podem ser cancelados em problemas de deslocamento; compare apenas os vetores que diferem.

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