ENEM 2025 · Questão 172

Matemática e suas Tecnologias · Faça manipulações algébricas envolvendo logaritmo e aplique CP2L

Um empresário utiliza máquinas cuja pressão interna $P$ , em atmosfera, depende do tempo contínuo de utilização $t$ , em hora, e de um parâmetro positivo $K$ , que define o modelo da máquina, segundo a expressão:

$P=4\cdot\log[-K\cdot(t+1)\cdot(t-19)]$

O fabricante dessas máquinas recomenda ao usuário que a pressão interna desse tipo de máquina não ultrapasse 10 atmosferas durante seu funcionamento.

O empresário pretende comprar novas máquinas desse tipo que deverão funcionar, diariamente, por um período contínuo de 10 horas. Para isso, precisa definir o modelo de máquina a ser adquirida escolhendo o maior valor possível do parâmetro $K$ , atendendo à recomendação do fabricante.

O maior valor a ser escolhido para $K$ é

A $10^{0,5}$
B $10^8$
C $\frac{10^{2,5}}{84}$
D $\frac{10^{2,5}}{99}$
E $25\times10^{-2}$

Ver a resposta e a resolução

Resposta: A

Resposta: (A) $10^{0{,}5}$ .

A ideia: a pressão deve ficar abaixo do limite durante todas as 10 horas, não apenas no instante final. Descubra quando a expressão dentro do logaritmo é máxima.

Resolução. Para $0\le t\le10$ , a expressão dentro do logaritmo fica $K(t+1)(19-t)$ , pois o fator $t-19$ é negativo e há um sinal de menos na fórmula.

Multiplicando os fatores, temos

$(t+1)(19-t)=100-(t-9)^2$ .

Como um quadrado nunca é negativo, essa expressão atinge o máximo 100 quando $t=9$ , dentro do período de funcionamento.

A pressão máxima é, portanto, $4\log(100K)$ . A recomendação exige

$4\log(100K)\le10$ .

$\log(100K)\le2{,}5\Rightarrow100K\le10^{2{,}5}$ .

Dividindo por $100=10^2$ , chegamos a $K\le10^{0{,}5}$ . O maior valor permitido é o limite dessa desigualdade.

Visualize:

O maior produto ocorre em 9 horas. t (h), (t + 1)(19 − t). Máximo 100: P máxima = 4 log(100K)

Onde a galera erra: verificar somente $t=10$ e marcar uma opção com $K$ maior. A pressão chega ao máximo em 9 horas, antes de completar o período.

Leve para a prova: quando a exigência vale para todo um intervalo, encontre o máximo da função nesse intervalo antes de aplicar o limite.

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