ENEM 2025 · Questão 173

Matemática e suas Tecnologias · Relacionar/Igualar áreas

Dificuldade TRI: b = 2,17 (média)

Em uma cidade, será construído um túnel que atravessa uma montanha para facilitar o trânsito de automóveis e bicicletas. Dois projetos foram elaborados e os esquemas com as vistas frontais desses projetos são apresentados na figura.

O Projeto 1 conta com dois túneis, um exclusivo para bicicletas e o outro, para automóveis. O Projeto 2 conta com um único túnel, com espaços reservados para o trânsito exclusivo de bicicletas e automóveis. Nos dois projetos, os túneis têm o formato de semicilindro reto de mesma extensão, com vias de ida e volta para os dois tipos de veículos, separados por muretas. O projeto a ser aprovado será aquele que apresentar a menor área da seção transversal, pois implicará menor volume de material retirado da montanha. Considere 3 como aproximação para $\pi$ e desconsidere as espessuras das muretas. O projeto a ser aprovado é

Ao 1, pois apresenta área de seção transversal medindo $67,5\,\mathrm{m}^2$ .
Bo 2, pois apresenta área de seção transversal medindo $121,5\,\mathrm{m}^2$ .
Co 1, pois apresenta área de seção transversal medindo $135\,\mathrm{m}^2$ .
Do 2, pois apresenta área de seção transversal medindo $243\,\mathrm{m}^2$ .
Equalquer um dos dois, pois apresentam áreas de suas seções transversais com medidas iguais.

Ver a resposta e a resolução

Resposta: A

A ideia: como os túneis têm a mesma extensão, basta comparar as áreas das seções semicirculares. A área cresce com o quadrado do raio, não proporcionalmente ao diâmetro.

Resolução. Na figura, o Projeto 1 tem dois túneis separados, de diâmetros 12 m e 6 m. Seus raios são 6 m e 3 m. Com $\pi=3$ , a soma das áreas é

$A_1=\dfrac{3\cdot6^2}{2}+\dfrac{3\cdot3^2}{2}=54+13{,}5=67{,}5$ metros quadrados.

No Projeto 2, há um só semicírculo com diâmetro total 18 m, portanto raio 9 m:

$A_2=\dfrac{3\cdot9^2}{2}=121{,}5$ metros quadrados.

A menor escavação corresponde ao Projeto 1.

Visualize: Seções semicirculares em escala comum: projeto 1 com diâmetros 12 e 6 m, projeto 2 com diâmetro 18 m. Áreas calculadas com π=3.

Construção auxiliar de enem-2025-q173

Onde a galera erra: marcar B porque o Projeto 2 parece aproveitar melhor o espaço. Visualmente compacto não significa menor área: juntar dois diâmetros aumenta muito o quadrado do raio.

Leve para a prova: decomponha figuras compostas e compare as áreas calculadas, não apenas as medidas lineares.

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