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ENEM 2025 · regional Belém · Questão 140
Matemática e suas Tecnologias · Colorir regiões sem repetir cores vizinhas: quantas maneiras?
Dificuldade TRI: b = 3,32 (difícil)Para as olimpíadas internas de um colégio, foram formadas 16 equipes, cada uma identificada por um escudo. Cada escudo será dividido em 4 regiões distintas, conforme a Figura 1.
Foram escolhidas três cores para colorir as regiões de todos os escudos. Em cada região, será utilizada uma única cor, e o escudo de cada equipe será colorido com até três dessas cores. Regiões com lado em comum não podem ter a mesma cor. Não pode haver duas equipes com uma mesma configuração de cores no escudo. A Figura 2 apresenta dois escudos possíveis.
Cinco responsáveis pelas olimpíadas analisaram a viabilidade de se confeccionarem os escudos, e cada um formulou um argumento:
I. é viável, pois há 18 escudos possíveis;
II. é viável, pois há 72 escudos possíveis;
III. é viável, pois há 81 escudos possíveis;
IV. não é viável, pois há apenas 6 escudos possíveis;
V. não é viável, pois há apenas 12 escudos possíveis.
O argumento correto foi o
- AI.
- BII.
- CIII.
- DIV.
- EV.
Ver a resposta e a resolução
Resposta: A
A ideia: as quatro regiões do escudo formam um ciclo de adjacências. Regiões que se tocam apenas no ponto central podem repetir a cor.
Resolução. Na Figura 1, a região superior compartilha lados com a esquerda e a direita; a região inferior compartilha lados com a esquerda e a direita. Já a superior e a inferior se encontram apenas num ponto, assim como a esquerda e a direita.
Escolha a cor da região superior: 3 possibilidades. A esquerda e a direita precisam ser diferentes da superior, mas podem ser iguais entre si.
Se esquerda e direita tiverem a mesma cor, há 2 escolhas para essa cor e 2 para a região inferior: escudos.
Se esquerda e direita tiverem cores diferentes, há maneiras de pintá-las e a região inferior fica obrigada a usar a cor superior: escudos.
Total: . Portanto, o argumento I está correto, e 18 modelos bastam para as 16 equipes.
Visualize: no grafo de adjacências, uma ligação representa uma fronteira entre regiões. Superior e inferior podem repetir a cor; esquerda e direita também.
Onde a galera erra: exigir quatro cores diferentes ou proibir repetição entre regiões que compartilham apenas um ponto.
Leve para a prova: em colorações, construa a lista de adjacências antes de aplicar o princípio multiplicativo.
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