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ENEM 2025 · reaplicação · Questão 147

Matemática e suas Tecnologias · Dada a Função, determine o vértice

Dificuldade TRI: b = 2,45 (média)

A produtividade PP de um tipo de semente depende da quantidade QQ de fertilizante aplicada, ambas em quilograma por hectare. Foram realizados quatro experimentos em pequenas regiões, onde foi possível medir a produção para diferentes valores de QQ para aquele tipo de solo, obtendo-se os seguintes resultados:

• região 1: Q=0Q = 0 kg/ha resultou P=1 000P = 1\ 000 kg/ha;

• região 2: Q=100Q = 100 kg/ha resultou P=6 000P = 6\ 000 kg/ha;

• região 3: Q=200Q = 200 kg/ha resultou P=9 000P = 9\ 000 kg/ha;

• região 4: Q=500Q = 500 kg/ha resultou P=6 000P = 6\ 000 kg/ha.

A produtividade PP é modelada por uma função quadrática na variável QQ. O objetivo desses experimentos é obter a dosagem ideal de fertilizante que torne a produção máxima.

Qual deve ser a dosagem de fertilizante a ser aplicada, em quilograma por hectare, para que a produção seja máxima?

  1. A200
  2. B250
  3. C300
  4. D350
  5. E500
Ver a resposta e a resolução

Resposta: C

A ideia: dois valores iguais de uma quadrática ficam simetricamente posicionados em relação ao vértice.

Resolução. A produtividade é 6 000 kg/ha tanto com 100 quanto com 500 kg/ha de fertilizante. O eixo de simetria fica no ponto médio dessas dosagens: Qv=100+5002=300Q_v=\dfrac{100+500}{2}=300 kg/ha.

O valor de 9 000 em 200 kg/ha é maior que os 6 000 dos dois pontos simétricos, confirmando que a concavidade é para baixo e o vértice é um máximo. Portanto, a dosagem ótima é 300 kg/ha, mesmo sem ter sido uma das quatro dosagens testadas.

Visualize:

Parábola P=−0,1Q²+60Q+1000. Pontos de dosagem100 e500 têm produtividade6000; máximo em300 e10000 kg/ha.

Onde a galera erra: 200 (A) dá a maior produtividade observada nos testes, mas o modelo quadrático permite localizar o máximo entre as dosagens disponíveis.

Leve para a prova: dois pontos de mesma altura em uma parábola revelam o eixo de simetria pelo ponto médio das abscissas.

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