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ENEM 2025 · reaplicação · Questão 180

Matemática e suas Tecnologias · sem padrão (conteúdo)

Dificuldade TRI: b = 2,69 (difícil)

As folhas de papel retangular de tamanho A0, A1, A2, A3 e A4 são confeccionadas de maneira que uma folha A0 corresponde a duas folhas A1, que, por sua vez, corresponde a duas folhas A2, e assim por diante, conforme representado na figura. Além disso, a razão entre as medidas lineares, largura (medida menor) e altura (medida maior) de cada folha é igual a 12\frac{1}{\sqrt{2}}.

Figura da questão

Considere kk a razão entre a medida da altura da folha de tamanho A1 pela altura da folha de tamanho A4.

Qual é o valor de kk?

  1. A323\sqrt{2}
  2. B222\sqrt{2}
  3. C32\frac{3}{\sqrt{2}}
  4. D12\frac{1}{\sqrt{2}}
  5. E122\frac{1}{2\sqrt{2}}
Ver a resposta e a resolução

Resposta: B

Resposta: (B) 222\sqrt{2}.

A ideia: de A1 até A4 são três mudanças de tamanho. Cada uma reduz a área pela metade, mas não reduz as medidas lineares pela metade.

Resolução. A figura mostra A1 na metade inferior, A2 acima à esquerda, A3 à direita e A4 dentro da metade superior direita. “Altura” significa o lado maior de cada folha, mesmo quando ela aparece deitada no esquema. A cada passagem de um formato para o próximo, a área é dividida por 2 e a proporção entre largura e altura é mantida.

Por semelhança, a razão entre medidas lineares consecutivas é 12\dfrac{1}{\sqrt{2}}. Assim, da altura de A1 para a de A4 há três reduções sucessivas:

hA4=hA1⋅12⋅12⋅12h_{A4}=h_{A1}\cdot\dfrac{1}{\sqrt{2}}\cdot\dfrac{1}{\sqrt{2}}\cdot\dfrac{1}{\sqrt{2}}.

Logo, k=hA1hA4=(2)3=22k=\dfrac{h_{A1}}{h_{A4}}=(\sqrt{2})^3=2\sqrt{2}.

Visualize: Altura: lado maior de cada folha. Formato, Altura/h₍A1₎. h₍A1₎/h₍A4₎ = 2√2

Construção auxiliar de enem-2025rea-q180

Onde a galera erra: escolher D, correspondente a uma única redução, esquecendo as passagens A1–A2, A2–A3 e A3–A4.

Leve para a prova: se figuras semelhantes têm área na razão 2, suas medidas lineares ficam na razão 2\sqrt{2}.

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