PASSE 2018 · 1ª etapa · Questão 18

Matemática · Álgebra e técnicas

Em uma prova, uma das questões continha o seguinte enunciado: “Resolva a inequação $\dfrac{x+1}{1-x} > 1$ .”

Um aluno fez o seguinte desenvolvimento:

$\dfrac{x+1}{1-x} > 1 \Rightarrow x + 1 > 1 - x \Rightarrow 2x > 0$
$\therefore\ x > 0$

O aluno cometeu um erro em seu desenvolvimento, fazendo com que a solução por ele encontrada esteja equivocada.

Pode-se afirmar que:

AO erro do aluno foi ter assumido que $1 - x$ seja positivo para todo $x$ real.
BO erro do aluno foi não ter invertido a desigualdade na primeira passagem.
CO erro cometido foi ter cancelado as parcelas “1” na segunda passagem de seu desenvolvimento.
DNa segunda passagem, o correto seria afirmar que “ $x + 1 > x - 1$ ”.
EA resposta correta seria “ $x < 0$ ”.

Ver a resposta e a resolução

Resposta: A

Resposta: (A) o erro foi assumir $1 - x > 0$ para todo $x$ .

A ideia: multiplicar uma inequação por uma expressão só mantém o sinal se a expressão for positiva.

Resolução. O aluno multiplicou por $1 - x$ sem saber o sinal. O certo é passar tudo para um lado:

$\dfrac{x + 1}{1 - x} - 1 > 0 \iff \dfrac{2x}{1 - x} > 0 \iff 0 < x < 1$ .

Onde a galera erra: achar que bastava "inverter a desigualdade" (B). Inverter só vale quando a expressão é negativa, e aqui ela muda de sinal.

Leve para a prova: inequação com incógnita no denominador: compare com zero e faça o quadro de sinais.

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