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Provas resolvidas › PASSE 2019 · 1ª etapa

PASSE 2019 · 1ª etapa · Questão 30

Matemática · Geometria plana

O desenho de uma árvore de natal foi montado com 3 triângulos equiláteros e um trapézio servindo de base para árvore, como segue:

Figura da questão

A medida de cada lado do triângulo ABC é zz. Sabendo que a medida de cada lado do triângulo seguinte é 2/3 da medida de cada lado do triângulo anterior e que a altura do vaso é igual a yy, quanto vale HH?

  1. AH=56z3+yH = \frac{5}{6}z\sqrt{3} + y.
  2. BH=1318z3+yH = \frac{13}{18}z\sqrt{3} + y.
  3. CH=119z3+yH = \frac{11}{9}z\sqrt{3} + y.
  4. DH=13z3+yH = \frac{1}{3}z\sqrt{3} + y.
  5. EH=29z3+yH = \frac{2}{9}z\sqrt{3} + y.
Ver a resposta e a resolução

Resposta: B

Resposta: (B) H=1318z3+yH = \frac{13}{18}z\sqrt{3} + y.

A ideia: a figura está fora de escala, mas mostra que a base A2B2A_2B_2 passa na altura do vértice C. Então a árvore tem a altura do triângulo de baixo mais a do triângulo de cima.

Resolução. Lados: zz, 2z3\frac{2z}{3} e 4z9\frac{4z}{9}. Altura de equilátero: ℓ32\frac{\ell\sqrt{3}}{2}.

  • Triângulo ABC: z32\dfrac{z\sqrt{3}}{2}, do chão da árvore até C, onde começa A2B2C2A_2B_2C_2.
  • Triângulo A2B2C2A_2B_2C_2: 4z9⋅32=2z39\dfrac{4z}{9} \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} = \dfrac{2z\sqrt{3}}{9}.

H=y+z32+2z39=y+9+418z3=1318z3+yH = y + \dfrac{z\sqrt{3}}{2} + \dfrac{2z\sqrt{3}}{9} = y + \dfrac{9 + 4}{18}z\sqrt{3} = \dfrac{13}{18}z\sqrt{3} + y.

Onde a galera erra: somar as três alturas como se os triângulos estivessem empilhados sem sobreposição (1918z3\frac{19}{18}z\sqrt{3}).

Leve para a prova: em figura sobreposta, ache quais alturas "aparecem" de fato na vertical total.

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