Provas resolvidas › PASSE 2019 · 2ª etapa

PASSE 2019 · 2ª etapa · Questão 24

Matemática · Trigonometria · questão adaptada

Em um parque de diversões, há duas montanhas russas. A primeira tem sua trajetória definida pela função $f: [0, \pi] \to [-1, 1]$ , onde $f(x) = \operatorname{sen}(3x)$ ; a segunda tem sua trajetória definida pela função $g: [0, \pi] \to [-1, 1]$ , tal que $g(x) = \operatorname{sen}(2x)$ , onde $x$ descreve o deslocamento horizontal e $f(x)$ e $g(x)$ descrevem, respectivamente, o deslocamento vertical daqueles que percorrem a primeira montanha russa e a segunda montanha russa. Quando os deslocamentos verticais são iguais na primeira e na segunda montanha, quais são os valores do deslocamento horizontal?

A $x = 0$ ou $x = \dfrac{\pi}{5} + \dfrac{2k\pi}{5}$ , $k \in \{0, 1, 2\}$ .
B $x = 0$ ou $x = \dfrac{\pi}{6}$ .
C $x = 0$ ou $x = \dfrac{\pi}{4} + \dfrac{k\pi}{2}$ , $k \in \{0, 1\}$ .
D $x = 0$ ou $x = \dfrac{\pi}{2}$ .
E $x = 0$ ou $x = \dfrac{2\pi}{3} + \dfrac{2k\pi}{3}$ , $k \in \{0, 1, 2\}$ .

Ver a resposta e a resolução

Resposta: A

Resposta: (A) $x = 0$ ou $x = \frac{\pi}{5} + \frac{2k\pi}{5}$ , $k \in \{0, 1, 2\}$ .

Questão adaptada: no original, a alternativa A (o gabarito) trazia $\frac{\pi}{5} + 2k\pi$ , que sai de $[0, \pi]$ ; aqui ela foi corrigida para $\frac{2k\pi}{5}$ .

A ideia: $\operatorname{sen}a = \operatorname{sen}b$ quando $a = b + 2k\pi$ ou $a = \pi - b + 2k\pi$ .

Resolução.

$3x = 2x + 2k\pi \Rightarrow x = 2k\pi$ : em $[0, \pi]$ , só $x = 0$ .
$3x = \pi - 2x + 2k\pi \Rightarrow x = \frac{\pi}{5} + \frac{2k\pi}{5}$ : $\frac{\pi}{5}, \frac{3\pi}{5}, \pi$ .

Onde a galera erra: ficar só com o primeiro caso ( $3x = 2x$ ) e achar que só $x = 0$ serve.

Leve para a prova: senos iguais: arcos iguais ou suplementares, mais voltas.

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