Provas resolvidas › PASSE 2019 · 2ª etapa

PASSE 2019 · 2ª etapa · Questão 25

Matemática · Matrizes e determinantes

Dois irmãos, Pedro e Paulo, são maratonistas e treinam constantemente para provas de corrida de longa distância. Recentemente disputaram uma prova em nível estadual e outra em nível nacional. Na prova em nível estadual, Pedro ficou em primeiro lugar e Paulo ficou em terceiro. Na prova em nível nacional, Pedro ficou em segundo lugar e Paulo em quarto lugar. Representando Pedro por $i = 1$ e Paulo por $i = 2$ , é montada uma matriz $A$ de ordem 2 cujos elementos $a_{ij}$ representam as colocações dos irmãos nas maratonas $j = 1$ estadual e $j = 2$ nacional. Considerando a matriz $A = [a_{ij}]$ e $I_2$ a matriz identidade de ordem 2, assinale a alternativa correta.

A $A^{-1} = \begin{bmatrix} -2 & 1 \\ 3/2 & -1/2 \end{bmatrix}$ .
B $\det(A) = 0$ .
C $A \cdot I_2 = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 4 \end{bmatrix}$ .
D $A + I_2 = \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 4 & 5 \end{bmatrix}$ .
E $A^T = \begin{bmatrix} 1 & 1/2 \\ 1/3 & 1/4 \end{bmatrix}$ .

Ver a resposta e a resolução

Resposta: A

Resposta: (A) $A^{-1} = \begin{bmatrix} -2 & 1 \\ 3/2 & -1/2 \end{bmatrix}$ .

A ideia: montar $A$ (linha = irmão, coluna = prova) e testar as alternativas.

Resolução. $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}$ , $\det A = 4 - 6 = -2$ .

$A^{-1} = \dfrac{1}{-2}\begin{bmatrix} 4 & -2 \\ -3 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -2 & 1 \\ 3/2 & -1/2 \end{bmatrix}$ .

As outras: $\det A = -2 \ne 0$ (B); $A \cdot I_2 = A$ (C); $A + I_2 = \begin{bmatrix} 2 & 2 \\ 3 & 5 \end{bmatrix}$ (D); $A^T = \begin{bmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 4 \end{bmatrix}$ (E).

Onde a galera erra: montar $A$ com as linhas trocadas (Pedro na linha das provas).

Leve para a prova: inversa 2 × 2: troca a diagonal principal, troca o sinal da secundária e divide pelo determinante.

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