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PASSE 2019 · 2ª etapa · Questão 26

Matemática · Combinatória

Rafael, Ângela e Alice adoram estudar matemática. São colegas de sala de aula e participaram de uma “Gincana de Matemática” promovida pela escola onde estudam. Nessa gincana, os 10 primeiros colocados ganharam prêmios. Rafael, Ângela e Alice foram premiados. Resolvendo o sistema de equações a seguir, encontraremos a colocação dos três, onde xx = colocação de Rafael, yy = colocação de Ângela e zz = colocação de Alice:

{x+y+z=6x−4y+z=−42x+y−z=1\begin{cases} x + y + z = 6 \\ x - 4y + z = -4 \\ 2x + y - z = 1 \end{cases}

Considerando AA a matriz de ordem 3, obtida a partir dos coeficientes do sistema acima, assinale a alternativa correta.

  1. Adet⁡(2A)=30\det(2A) = 30.
  2. Bdet⁡AT=15\det A^T = 15.
  3. CRafael foi o 4º colocado.
  4. DÂngela foi a 1ª colocada.
  5. EAlice foi a 5ª colocada.
Ver a resposta e a resolução

Resposta: B

Resposta: (B) det⁡AT=15\det A^T = 15.

A ideia: resolver o sistema e calcular o determinante.

Resolução. Primeira menos segunda: 5y=105y = 10, y=2y = 2. Então x+z=4x + z = 4 e 2x−z=−12x - z = -1: x=1x = 1, z=3z = 3.

det⁡A=1(4−1)−1(−1−2)+1(1+8)=15\det A = 1(4 - 1) - 1(-1 - 2) + 1(1 + 8) = 15, e det⁡AT=det⁡A=15\det A^T = \det A = 15.

As outras: det⁡(2A)=8⋅15=120\det(2A) = 8 \cdot 15 = 120; Rafael foi o 1º; Ângela a 2ª; Alice a 3ª.

Onde a galera erra: fazer det⁡(2A)=2⋅15=30\det(2A) = 2 \cdot 15 = 30 (A).

Leve para a prova: det⁡(kA)=kndet⁡A\det(kA) = k^n \det A, com nn a ordem.

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