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PASSE 2020 · 1ª etapa · Questão 17

Matemática · Álgebra e técnicas · questão adaptada

As funções $f(x)$ e $g(x)$ são definidas de $\mathbb{R}$ em $\mathbb{R}$ , e $f$ é uma função afim não constante. A imagem da função $g(x)$ é igual ao domínio da função $f(x)$ , isto é, $\text{Im}(g) = \mathbb{R}$ . Assim, uma relação possível entre as funções $f(x)$ e $g(x)$ pode ser verificada por:

A $g(x) = 2^5 \cdot f(x)$ .
B $g(x) = (f(x))^2$ .
C $f(x) = \sqrt{g(x)}$ .
D $f(x) = |g(x)|$ .
E $g(x) = 2^{f(x)}$ .

Ver a resposta e a resolução

Resposta: A

Resposta: (A) $g(x) = 2^5 \cdot f(x)$ .

Questão adaptada: no original, o enunciado falava em "contradomínio" de funções de $\mathbb{R}$ em $\mathbb{R}$ , que é sempre $\mathbb{R}$ , e não permitia decidir. Aqui ficou explícito que a imagem de $g$ é $\mathbb{R}$ e que $f$ é afim não constante.

A ideia: se $f$ é afim não constante, ela assume todos os reais. A relação certa é a que deixa $g$ também assumir todos os reais.

Resolução.

A: $g = 32 \cdot f$ assume todos os reais, pois $f$ assume. Possível.
B: $g = f^2$ só assume valores $\ge 0$ ; a imagem não seria $\mathbb{R}$ .
C: $f = \sqrt{g}$ obrigaria $f \ge 0$ , mas uma função afim não constante assume valores negativos.
D: $f = |g|$ também obrigaria $f \ge 0$ .
E: $g = 2^{f}$ só assume valores positivos.

Onde a galera erra: não perceber que potência par, raiz quadrada, módulo e exponencial "cortam" metade dos reais.

Leve para a prova: potência par, raiz par, módulo e exponencial restringem o sinal do resultado; multiplicar por uma constante não restringe.

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