PASSE 2020 · 1ª etapa · Questão 29

Matemática · Álgebra e técnicas · questão adaptada

Seja $n$ um número natural. Então a expressão:

$\dfrac{(3^{n+1} + 3^n)(5^{n+1} - 5^n)}{15^n} \times \dfrac{1}{\left(\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{2}}}}\right)^{64}}$

é sempre igual a:

Ver a resposta e a resolução

Resposta: A

A ideia: colocar $3^n$ e $5^n$ em evidência; a raiz quádrupla é $2^{1/16}$ .

Resolução. $(3^{n+1} + 3^n) = 4 \cdot 3^n$ e $(5^{n+1} - 5^n) = 4 \cdot 5^n$ . Produto: $16 \cdot 15^n$ ; dividido por $15^n$ : 16.

$\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{2}}}} = 2^{1/16}$ , e $(2^{1/16})^{64} = 2^4 = 16$ .

Resultado: $16 \cdot \dfrac{1}{16} = 1$ .

Questão adaptada: com "÷" no lugar de "×" a expressão dava 256.

Onde a galera erra: fazer $3^{n+1} + 3^n = 3^{2n+1}$ .

Leve para a prova: soma de potências de mesma base: ponha a menor em evidência.

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