PASSE 2020 · 2ª etapa · Questão 18

Resposta: A

Resposta: (A) $\dfrac{1}{4}$.

A ideia: a figura tem 6 vértices (dois ângulos retos, no vértice C e no canto sem letra). A soma dos ângulos externos de qualquer polígono convexo é 360°.

Resolução. Os ângulos externos nos ângulos retos valem 90°. PA crescente A, B, C: $90° - 2r$, $90° - r$, $90°$. PA decrescente C, D, E: $90°$, $90° - r$, $90° - 2r$.

Soma: $6 \cdot 90° - 6r = 360° \Rightarrow r = 30°$. Externos: A = 30°, B = 60°, C = 90°, D = 60°, E = 30°.

Indo da reta AB até a reta DE, a direção gira os externos de B, C e D: $60° + 90° + 60° = 210°$. Como retas, a diferença é $210° - 180° = 30°$: $\alpha = 30°$.

$\operatorname{tg}\alpha \cdot \operatorname{sen}\alpha \cdot \cos\alpha = \operatorname{sen}^2\alpha = \left(\dfrac{1}{2}\right)^2 = \dfrac{1}{4}$.

Onde a galera erra: contar só os 5 vértices com letra e usar soma 360° em 5 ângulos.

Leve para a prova: soma dos externos = 360°; e $\operatorname{tg}x \cdot \cos x = \operatorname{sen}x$ simplifica a expressão.