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PASSE 2020 · 2ª etapa · Questão 20

Matemática · Sistemas lineares · questão adaptada

Leandro, ao quebrar seu cofrinho, somou todas as moedas de R$ 0,05, R$ 0,10 e R$ 0,25, chegando ao valor total de R$ 5,65. Se no cofrinho havia 100 moedas, com pelo menos uma moeda de cada valor, com esses dados é:

  1. Aimpossível que a soma das moedas tenha dado R$ 5,65.
  2. Bpossível determinar quantas moedas de cada valor ele tinha, pois o sistema só admite uma solução.
  3. Cnão é possível determinar quantas moedas de cada valor ele tinha, pois o sistema admite duas soluções.
  4. Dnão é possível determinar quantas moedas de cada valor ele tinha, pois o sistema admite três soluções.
  5. Enão é possível determinar quantas moedas de cada valor ele tinha, pois o sistema admite quatro soluções.
Ver a resposta e a resolução

Resposta: D

A ideia: 3 incógnitas e 2 equações: infinitas soluções reais, mas poucas com números inteiros positivos.

Resolução. nn moedas de 5 centavos, dd de 10 e qq de 25:

n+d+q=100n + d + q = 100 e 5n+10d+25q=5655n + 10d + 25q = 565.

Subtraindo 5 vezes a primeira da segunda: 5d+20q=655d + 20q = 65, ou d+4q=13d + 4q = 13.

Com q≥1q \ge 1 e d≥1d \ge 1: (q,d)=(1,9),(2,5),(3,1)(q, d) = (1, 9), (2, 5), (3, 1), com n=90,93,96n = 90, 93, 96.

Três soluções: não dá para saber quantas moedas de cada.

Questão adaptada: com R$ 6,40, o original admitia mais soluções do que as alternativas previam.

Onde a galera erra: esquecer a condição "pelo menos uma de cada" e contar q=0q = 0 ou d=0d = 0.

Leve para a prova: sistema com solução inteira: elimine uma incógnita e liste os casos possíveis.

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