PASSE 2020 · 2ª etapa · Questão 21

Resposta: C

A ideia: sistema homogêneo tem solução própria (diferente de zero) quando o determinante é zero.

Resolução. Com $c = \cos(3\alpha)$, a matriz dos coeficientes é $\begin{pmatrix} c^2 & 1 & 0 \\ c & 0 & -1 \\ -1 & -1 & c \end{pmatrix}$.

$\det = c^2(0 - 1) - 1(c^2 - 1) = 1 - 2c^2$.

$\det = 0$: $c^2 = \dfrac{1}{2}$, e com $3\alpha$ em $\left[0, \frac{\pi}{2}\right]$, $\cos(3\alpha) = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$, logo $3\alpha = 45°$.

Questão adaptada: no original, o determinante dava 1 para todo ângulo.

Onde a galera erra: responder o valor de $\alpha$ (15°) em vez de $3\alpha$.

Leve para a prova: homogêneo: det ≠ 0 só a solução nula; det = 0 infinitas.