Provas resolvidas › PASSE 2020 · 2ª etapa

PASSE 2020 · 2ª etapa · Questão 26

Matemática · Geometria plana

No quadrado $A_1B_1C_1D_1$ , é inscrito um quadrado $A_2B_2C_2D_2$ , de modo que seus vértices fiquem no centro dos lados do quadrado $A_1B_1C_1D_1$ . O procedimento de inscrição do quadrado é repetido dessa maneira conforme a figura a seguir. O lado do quadrado $A_1B_1C_1D_1$ mede 32 cm. Qual o comprimento do lado do quadrado $A_9B_9C_9D_9$ ?

A $\dfrac{1}{2}$ .
B1.
C2.
D4.
E8.

Ver a resposta e a resolução

Resposta: C

A ideia: ligar os pontos médios dos lados de um quadrado forma um quadrado de lado $\frac{\ell}{\sqrt{2}}$ . Os lados formam uma PG de razão $\frac{1}{\sqrt{2}}$ .

Resolução. O novo lado é a hipotenusa de catetos $\frac{\ell}{2}$ : $\frac{\ell\sqrt{2}}{2} = \frac{\ell}{\sqrt{2}}$ .

$\ell_9 = 32 \cdot \left(\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right)^8 = \dfrac{32}{16} = 2$ cm.

Atalho: a cada dois passos o lado cai à metade: $32 \to 16 \to 8 \to 4 \to 2$ (do 1º ao 9º).

Onde a galera erra: usar expoente 9 em vez de 8 ou dividir por 2 a cada passo.

Leve para a prova: $a_n = a_1 q^{n-1}$ ; quadrado dos pontos médios: lado $\times \frac{1}{\sqrt{2}}$ , área $\times \frac{1}{2}$ .

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