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Provas resolvidas › PASSE 2020 · 2ª etapa

PASSE 2020 · 2ª etapa · Questão 28

Matemática · Trigonometria · questão adaptada

Em um dia de treinamento da 14ª companhia de polícia do exército em Campo Grande, um soldado, a uma distância dd de uma torre, dispara dois projéteis em trajetórias retilíneas. O primeiro, lançado sob um ângulo θ∈(0,π4)\theta \in \left(0, \frac{\pi}{4}\right), atinge a torre a uma altura hh. O segundo, disparado sob um ângulo 2θ2\theta, atinge-a a uma altura HH.

Figura da questão

Sabendo que os disparos foram realizados a uma altura de 1,7 m do chão, qual a relação entre as duas alturas?

  1. AH=2(h+1,7)d2d2−(h+1,7)2+1,7H = \dfrac{2(h + 1{,}7)d^2}{d^2 - (h + 1{,}7)^2} + 1{,}7.
  2. BH=2(h−1,7)d2d2−(h−1,7)2−1,7H = \dfrac{2(h - 1{,}7)d^2}{d^2 - (h - 1{,}7)^2} - 1{,}7.
  3. CH=2(h+1,7)d2d2−(h+1,7)2−1,7H = \dfrac{2(h + 1{,}7)d^2}{d^2 - (h + 1{,}7)^2} - 1{,}7.
  4. DH=2(h+1,7)d2d2+(h+1,7)2+1,7H = \dfrac{2(h + 1{,}7)d^2}{d^2 + (h + 1{,}7)^2} + 1{,}7.
  5. EH=2(h−1,7)d2d2−(h−1,7)2+1,7H = \dfrac{2(h - 1{,}7)d^2}{d^2 - (h - 1{,}7)^2} + 1{,}7.
Ver a resposta e a resolução

Resposta: E

Resposta: (E) H=2(h−1,7)d2d2−(h−1,7)2+1,7H = \dfrac{2(h - 1{,}7)d^2}{d^2 - (h - 1{,}7)^2} + 1{,}7.

Questão adaptada: no original, o texto dizia 1,6 m e a figura e as alternativas usavam 1,7 m; aqui o texto diz 1,7 m.

A ideia: os ângulos são medidos a partir da altura do disparo (1,7 m). Tangente do ângulo e tangente do ângulo dobrado.

Resolução. Acima da linha do disparo, as alturas são h−1,7h - 1{,}7 e H−1,7H - 1{,}7:

tg⁡θ=h−1,7d\operatorname{tg}\theta = \dfrac{h - 1{,}7}{d} e tg⁡2θ=H−1,7d\operatorname{tg}2\theta = \dfrac{H - 1{,}7}{d}.

Com tg⁡2θ=2tg⁡θ1−tg⁡2θ\operatorname{tg}2\theta = \dfrac{2\operatorname{tg}\theta}{1 - \operatorname{tg}^2\theta}:

H−1,7=d⋅2(h−1,7)/d1−(h−1,7)2/d2=2(h−1,7)d2d2−(h−1,7)2H - 1{,}7 = d \cdot \dfrac{2(h - 1{,}7)/d}{1 - (h - 1{,}7)^2/d^2} = \dfrac{2(h - 1{,}7)d^2}{d^2 - (h - 1{,}7)^2}.

Some 1,7 de volta.

Onde a galera erra: somar 1,7 a hh em vez de subtrair (A e C), como se o disparo fosse abaixo do chão.

Leve para a prova: tg⁡2θ=2tg⁡θ1−tg⁡2θ\operatorname{tg}2\theta = \dfrac{2\operatorname{tg}\theta}{1 - \operatorname{tg}^2\theta}; meça as alturas a partir de onde o ângulo nasce.

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