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PASSE 2020 · 2ª etapa · Questão 29

Matemática · Geometria analítica

Três cidades AA, BB e CC aparecem num mapa, em escala 1:100001 : 10000, como mostra a figura a seguir.

Figura da questão

Qual a distância em km entre as cidades AA e CC?

  1. A2\sqrt{2}.
  2. B22\dfrac{\sqrt{2}}{2}.
  3. C3\sqrt{3}.
  4. D32\dfrac{\sqrt{3}}{2}.
  5. E12\dfrac{1}{2}.
Ver a resposta e a resolução

Resposta: A

Resposta: (A) 2\sqrt{2} km.

A ideia: converter o lado do mapa e usar a lei dos senos.

Resolução. No mapa AB=20AB = 20 cm; na escala 1 : 10 000, isso é 200 000 cm = 2 km.

Ângulos: A^=105°\hat{A} = 105°, C^=45°\hat{C} = 45°, logo B^=30°\hat{B} = 30°.

Lei dos senos: ACsen⁡30°=ABsen⁡45°\dfrac{AC}{\operatorname{sen} 30°} = \dfrac{AB}{\operatorname{sen} 45°}, então AC=2⋅1222=22=2AC = \dfrac{2 \cdot \frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \dfrac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}.

Onde a galera erra: usar o ângulo errado: o lado ACAC é oposto ao ângulo BB.

Leve para a prova: na lei dos senos, cada lado conversa com o ângulo oposto.

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