Provas resolvidas › PASSE 2020 · 3ª etapa

PASSE 2020 · 3ª etapa · Questão 27

Matemática · Números complexos

A forma trigonométrica do número complexo $Z = (1 + i)(2 + 2i)(4 + 4i)$ é equivalente a:

A $8\left(\cos\frac{3\pi}{2} + i\,\operatorname{sen}\frac{3\pi}{2}\right)$ .
B $16\left(\cos\frac{3\pi}{4} + i\,\operatorname{sen}\frac{3\pi}{4}\right)$ .
C $16\sqrt{2}\left(\cos\frac{3\pi}{4} + i\,\operatorname{sen}\frac{\pi}{4}\right)$ .
D $8\sqrt{2}\left(\cos\frac{3\pi}{4} + i\,\operatorname{sen}\frac{3\pi}{4}\right)$ .
E $4\left(\cos\frac{\pi}{2} + i\,\operatorname{sen}\frac{\pi}{2}\right)$ .

Ver a resposta e a resolução

Resposta: C

Resposta: (C) $16\sqrt{2}\left(\cos\frac{3\pi}{4} + i\,\operatorname{sen}\frac{\pi}{4}\right)$ .

A ideia: os três fatores são múltiplos de $1 + i$ : $Z = 8(1 + i)^3$ .

Resolução. $(1 + i)^3 = (1 + i)^2(1 + i) = 2i(1 + i) = -2 + 2i$ . Então $Z = -16 + 16i$ .

Módulo: $16\sqrt{2}$ . Argumento: $\dfrac{3\pi}{4}$ (2º quadrante).

$Z = 16\sqrt{2}\left(\cos\frac{3\pi}{4} + i \operatorname{sen}\frac{3\pi}{4}\right)$ . A alternativa C escreve $\operatorname{sen}\frac{\pi}{4}$ , que tem o mesmo valor de $\operatorname{sen}\frac{3\pi}{4}$ , por isso continua certa.

Onde a galera erra: esquecer o $\sqrt{2}$ do módulo (B) ou usar módulo 8 (D).

Leve para a prova: $|1 + i| = \sqrt{2}$ , argumento $\dfrac{\pi}{4}$ ; potências multiplicam o argumento.

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