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Provas resolvidas › PASSE 2020 · 3ª etapa

PASSE 2020 · 3ª etapa · Questão 28

Matemática · Polinômios

Um polinômio p(x)p(x) de coeficientes reais é divisível por x+2ix + 2i e divisível por x−i3x - i\sqrt{3}. Então, p(x)p(x) é equivalente a:

  1. A3x4+73x2+123\sqrt{3}x^4 + 7\sqrt{3}x^2 + 12\sqrt{3}.
  2. Bx2+i(2+3)x+23x^2 + i(2 + \sqrt{3})x + 2\sqrt{3}.
  3. Cx4−7x2+12x^4 - 7x^2 + 12.
  4. Dx4+2i(2−3)x3+(−7+83)x2+i(12+83)x+12x^4 + 2i(2 - \sqrt{3})x^3 + (-7 + 8\sqrt{3})x^2 + i(12 + 8\sqrt{3})x + 12.
  5. Ex2+i(2−3)x+23x^2 + i(2 - \sqrt{3})x + 2\sqrt{3}.
Ver a resposta e a resolução

Resposta: A

Resposta: (A) 3x4+73x2+123\sqrt{3}x^4 + 7\sqrt{3}x^2 + 12\sqrt{3}.

A ideia: coeficientes reais ⇒ raízes complexas vêm aos pares conjugados.

Resolução. Raízes: ±2i\pm 2i e ±i3\pm i\sqrt{3}. Então p(x)p(x) é múltiplo de (x2+4)(x2+3)=x4+7x2+12(x^2 + 4)(x^2 + 3) = x^4 + 7x^2 + 12.

A alternativa A é 3(x4+7x2+12)\sqrt{3}(x^4 + 7x^2 + 12): mesmas raízes, coeficientes reais.

C tem −7x2-7x^2, outro polinômio. B, D e E têm coeficientes não reais.

Onde a galera erra: usar só as duas raízes dadas e montar um polinômio de grau 2 com coeficientes complexos (B ou E).

Leve para a prova: coeficientes reais e raiz a+bia + bi ⇒ a−bia - bi também é raiz.

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