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Provas resolvidas › PASSE 2021 · 1ª etapa

PASSE 2021 · 1ª etapa · Questão 22

Matemática · Conjuntos e lógica

Em suas férias, Maria observou que em alguns dias choveu só no período da manhã, outros dias à tarde e alguns à noite. Houve dias que choveu só em dois períodos ou em três e até mesmo em nenhum dos períodos. Maria anotou em um caderno as seguintes observações:

I - choveu de manhã: 8 dias;
II - choveu de tarde: 6 dias;
III - choveu de noite: 4 dias;
IV - não choveu 2 dias;
V - choveu nos três períodos: 1 dia;
VI - todas as combinações possíveis de chuvas nos períodos ocorreram.

O total de dias que Maria ficou de férias foi:

  1. Ade 13 a 15 dias.
  2. Bmaior que 15 dias.
  3. Cmenor que 13 dias.
  4. Dexatamente 13 dias.
  5. Eexatamente 15 dias.
Ver a resposta e a resolução

Resposta: A

A ideia: "todas as combinações ocorreram" quer dizer que toda região do Venn tem pelo menos 1 dia. Isso não fixa o total, mas limita.

Resolução. Chame de aa, bb, cc os dias de chuva em exatamente dois períodos (manhã-tarde, manhã-noite, tarde-noite). Cada um vale pelo menos 1, e a chuva nos três períodos é 1 dia.

  • Noite (4): só noite = 4 − 1 − bb − cc ≥ 1, então b+cb + c ≤ 2, logo b=c=1b = c = 1.
  • Tarde (6): só tarde = 6 − 1 − aa − 1 ≥ 1, então aa ≤ 3.

Dias com chuva: 8 + 6 + 4 − (a+b+ca + b + c) − 2·1 = 14 − aa, com aa de 1 a 3: 11, 12 ou 13.

Somando os 2 dias sem chuva: 13, 14 ou 15 dias.

Onde a galera erra: cravar um número (D ou E). O enunciado não permite: o total depende de aa, que pode ser 1, 2 ou 3.

Leve para a prova: na inclusão-exclusão com três conjuntos, quem está nos três é subtraído uma vez a mais: some os três, tire os "exatamente dois" e tire 2 × (os três).

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