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Provas resolvidas › PASSE 2021 · 1ª etapa

PASSE 2021 · 1ª etapa · Questão 24

Matemática · Geometria plana

Uma estudante de Arquitetura colocou dois esquadros (ABEABE e CDECDE), conforme a figura a seguir:

Figura da questão

Com um barbante, traçou o segmento de reta DFDF e, utilizando um escalímetro, encontrou as seguintes medidas: DE=EB=50DE = EB = 50 cm, CD=30CD = 30 cm e AB=14AB = 14 cm. Após essas medidas e utilizando as relações métricas dos triângulos retângulos, ela calculou o valor do segmento EFEF, encontrando:

  1. A12 cm.
  2. B18 cm.
  3. C24 cm.
  4. D30 cm.
  5. E36 cm.
Ver a resposta e a resolução

Resposta: D

A ideia: EF é a projeção de DE sobre o chão. O ângulo DE^FD\hat{E}F é a soma de dois ângulos que já conhecemos pelos esquadros.

Resolução. Esquadro CDE (retângulo em C): CE=502−302=40CE = \sqrt{50^2 - 30^2} = 40, logo cos⁡(DE^C)=45\cos(D\hat{E}C) = \frac{4}{5} e sen⁡(DE^C)=35\operatorname{sen}(D\hat{E}C) = \frac{3}{5}.

Esquadro ABE (retângulo em A): AE=502−142=48AE = \sqrt{50^2 - 14^2} = 48, logo cos⁡(BE^A)=2425\cos(B\hat{E}A) = \frac{24}{25} e sen⁡(BE^A)=725\operatorname{sen}(B\hat{E}A) = \frac{7}{25}.

cos⁡(DE^F)=cos⁡(DE^C+BE^A)=45⋅2425−35⋅725=96−21125=35\cos(D\hat{E}F) = \cos(D\hat{E}C + B\hat{E}A) = \dfrac{4}{5}\cdot\dfrac{24}{25} - \dfrac{3}{5}\cdot\dfrac{7}{25} = \dfrac{96 - 21}{125} = \dfrac{3}{5}.

EF=DE⋅cos⁡(DE^F)=50⋅35=30EF = DE \cdot \cos(D\hat{E}F) = 50 \cdot \dfrac{3}{5} = 30 cm.

Onde a galera erra: usar só o ângulo de um esquadro (dá 50⋅45=4050 \cdot \frac{4}{5} = 40 ou 50⋅2425=4850 \cdot \frac{24}{25} = 48).

Leve para a prova: cos⁡(a+b)=cos⁡acos⁡b−sen⁡asen⁡b\cos(a + b) = \cos a\cos b - \operatorname{sen}a\operatorname{sen}b; triângulos 3-4-5 e 7-24-25 aparecem muito.

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