Provas resolvidas › PASSE 2021 · 2ª etapa

PASSE 2021 · 2ª etapa · Questão 20

Matemática · Sistemas lineares

Em seus estudos para a prova do PASSE, Maria está com dificuldades para resolver o sistema a seguir:

$\begin{cases} 4w + kz = -4 \\ -2x + 2y = 2 \\ 2z + 2w = -2 \\ 4x + (2 + k)y + 2z = 4 \end{cases}$

Nele, é solicitado que se determine o valor de $k$ para que o sistema admita uma única solução. Então, Maria pede ajuda para seu pai, que ao resolver corretamente o exercício encontra:

A $k \neq -6$ e $k \neq 4$ .
B $k \neq -4$ e $k \neq 6$ .
C $k \neq -4$ e $k \neq 0$ .
D $k \neq 0$ e $k \neq 4$ .
E $k \neq -6$ e $k \neq 0$ .

Ver a resposta e a resolução

Resposta: A

Resposta: (A) $k \ne -6$ e $k \ne 4$ .

A ideia: solução única ⇔ determinante da matriz dos coeficientes diferente de zero.

Resolução. Ordenando as incógnitas como $(x, y, z, w)$ :

$\begin{pmatrix} 0 & 0 & k & 4 \\ -2 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 2 \\ 4 & 2 + k & 2 & 0 \end{pmatrix}$ .

As equações 1 e 3 não têm $x$ nem $y$ . Por isso o determinante é o produto de dois blocos $2 \times 2$ : o das equações 1 e 3 em $(z, w)$ e o das equações 2 e 4 em $(x, y)$ (o $z$ da equação 4 não atrapalha):

$\begin{vmatrix} k & 4 \\ 2 & 2 \end{vmatrix} = 2k - 8$ e $\begin{vmatrix} -2 & 2 \\ 4 & 2 + k \end{vmatrix} = -2k - 12$ .

O determinante é zero quando $2k - 8 = 0$ ou $-2k - 12 = 0$ : $k = 4$ ou $k = -6$ .

Onde a galera erra: se perder no determinante 4 × 4. Separe as equações por quais incógnitas aparecem.

Leve para a prova: sistema que "se divide em dois" vira dois determinantes pequenos.

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