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Provas resolvidas › PASSE 2021 · 3ª etapa

PASSE 2021 · 3ª etapa · Questão 22

Matemática · Números complexos

O número complexo zz é tal que z−2zˉ=−1−6iz - 2\bar{z} = -1 - 6i, sendo ii a unidade imaginária (i2=−1i^2 = -1) e zˉ\bar{z} o número complexo conjugado de zz. Sendo θ\theta o argumento de zz, então:

  1. Atg⁡θ=1/2\operatorname{tg} \theta = 1/2.
  2. Bcos⁡θ=5/5\cos \theta = \sqrt{5}/5.
  3. Csen⁡θ=25/5\operatorname{sen} \theta = 2\sqrt{5}/5.
  4. Dtg⁡θ=2\operatorname{tg} \theta = 2.
  5. Ecos⁡θ=−25/5\cos \theta = -2\sqrt{5}/5.
Ver a resposta e a resolução

Resposta: B

Resposta: (B) cos⁡θ=55\cos \theta = \dfrac{\sqrt{5}}{5}.

A ideia: escrever z=a+biz = a + bi e igualar real com real, imaginário com imaginário.

Resolução. z−2zˉ=(a+bi)−2(a−bi)=−a+3bi=−1−6iz - 2\bar{z} = (a + bi) - 2(a - bi) = -a + 3bi = -1 - 6i.

a=1a = 1 e b=−2b = -2: z=1−2iz = 1 - 2i, ∣z∣=5|z| = \sqrt{5}.

cos⁡θ=15=55\cos \theta = \dfrac{1}{\sqrt{5}} = \dfrac{\sqrt{5}}{5}. (E tg⁡θ=−2\operatorname{tg} \theta = -2, sen⁡θ=−255\operatorname{sen} \theta = -\dfrac{2\sqrt{5}}{5}.)

Onde a galera erra: esquecer o sinal do conjugado: zˉ=a−bi\bar{z} = a - bi.

Leve para a prova: equação com zz e zˉ\bar{z}: troque por a+bia + bi e a−bia - bi.

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